[12121993]

Ta cũng có thể chứng minh chiều đảo như sau
Giả sử tam giác $ABC $ vuông tại $A. O $ là trung điểm BC. Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại $D $.
Theo kết quả quen thuộc các đường thẳng qua $A_1 $ vuông góc với $BC $, qua $B_1 $ vuông góc với $CA $, qua $C_1 $vuông góc với $AB $ đồng quy tại $K $ đối xứng với$ I $ qua $O $. ($K $ là tâm đường tròn đi qua 3 tâm bàng tiếp của tam giác $ABC $).
Ta có ngay $ KA_1=r $. Lại có $BC_1=CB_1=p-a=r $ (chú ý tam giác $ABC $ vuông tại$ A $) nên $KA_1=CB_1=BC_1 $.
Các tứ giác $BC_1A_1K và CB_1A_1K $ nội tiếp nên ta có chúng là hình thang cân do đó $C_1A_1// KB, B_1A_1 // KC $. suy ra $\angle{C_1A_1B_1}=\angle{BKC}.
\angle{C_1A_1B_1}=180^0-(\angle{BA_1C_1}+\angle{CA_1B_1})=180^0-(\angle{BKC_1}+\angle{CKB_1})=180^0-(\angle{BKC}-90^0) $
Suy ra $\angle{C_1A_1B_1}=135^0. $
Gọi $O_1 $ là giao của đường trung trực $B_1C_1 $ với $(ABC) $. Tam giác $O_1BC_1=O_1CB_1 $ nên ta có $OB_1=OC_1 $ và $\angle{B_1OC_1}=\angle{BAC}=90^0 $.
Ta có $\angle{B_1OC_1}=2(180^0-\angle{B_1A_1C_1}) $ nên$ O_1 $ là tâm ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1 $ (đpcm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]