Trích:
Nguyên văn bởi namdung  Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016
Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút
Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$ |
Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) ^2$, nên ta cần chứng minh bất đẳng thức
$$\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \dfrac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
Hay
$$1\leq\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c ^2)}}$$
Ta có đẳng thức sau
$$(a+b+c)^2=3[1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}](a^2+b^2+c^2)$$
Do đó
$$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=\sqrt{1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}}$$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
$$1\leq\dfrac{t}{2\sqrt{3}}+\sqrt{1-\dfrac{t}{3}}.$$
Với $t=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2)}$ và $0\leq t\leq 2$. Mà bất đẳng thức này đúng hiển nhiên. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]