Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

Kelacloi · 18-12-2013, 02:00 AM

Làm màu 1 lát.
Xét hàm số $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được xác định bởi công thức $g(x)=f(x)+x $.
Theo giả thuyết, ta có:
i) $g(x) $ liên tục
ii) $g(g(x))=2g(x)-x $

Từ ii) , ta suy ra $g(x) $ đơn ánh. Kết hợp với i, dẫn tới $g(x) $ là hàm đơn điệu

Trường hợp 1: $g(x) $ là hàm đơn điệu giảm.
Suy ra $[ g(g(x))-g(x) ][ g(x)-x] \le 0 \forall x \in \mathbb{R} $.
trong khi dó $g(g(x))-g(x)=g(x)-x $ nên dẫn tới $g(x)-x=0 \forall x \in \mathbb{R} $.
Mâu thuẫn điều kiện $g(x) $ đơn điệu giảm.

Trường hợp 2: $g(x) $ là hàm đơn điệu tăng.
Theo quy nạp ta có : $g_n(x)=x+n(g(x)-x) =x+nf(x)\forall x \in \mathbb{R} $, trong đó $g_{n}(x) $ được xác định bởi công thức $g_0(x)=x;g_n(x)=g(g_{n-1}(x)) $

Nếu $x \le y \Rightarrow g_n(x) \le g_n(y) \Rightarrow x+nf(x) \le y+nf(y) \Rightarrow f(x) \le f(y) $

Vậy $f(x) $ cũng là hàm đơn điệu tăng.
Ta có đẳng thức sau $f(x+nf(x))=f(x) \forall n \in \mathbb{N} $(*)
Trường hợp 2.1: $f(x)= 0 \forall x \in \mathbb{R} $ , kết thúc bài toán.
Trường hợp 2.2 : $\exist x_0: f(x_0)>0 $
Từ đây thấy rằng nếu $\exist x_1 : f(x_1) \ne f(x_0) $ thì do tính liên tục nên $\exist x_2 : f(x_2) \ne f(x_0) $ và $0<f(x_2) $

Sử dụng (*) và tính đơn điệu, ta suy ra ngay mâu thuẫn.
Bởi thế $f(x) $ là hàm hằng
Trường hợp 2.3 $\exist x_0 : f(x_0)<0 $
Giải tương tự trường hợp 2.2
P/s: Ký hiệu tồn tại , ko thấy được hiển thị ra nên ráng hiểu hén

18-12-2013, 02:00 AM	#2
Kelacloi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 252 Thanks: 50 Thanked 164 Times in 114 Posts	Làm màu 1 lát. Xét hàm số $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được xác định bởi công thức $g(x)=f(x)+x $. Theo giả thuyết, ta có: i) $g(x) $ liên tục ii) $g(g(x))=2g(x)-x $ Từ ii) , ta suy ra $g(x) $ đơn ánh. Kết hợp với i, dẫn tới $g(x) $ là hàm đơn điệu Trường hợp 1: $g(x) $ là hàm đơn điệu giảm. Suy ra $[ g(g(x))-g(x) ][ g(x)-x] \le 0 \forall x \in \mathbb{R} $. trong khi dó $g(g(x))-g(x)=g(x)-x $ nên dẫn tới $g(x)-x=0 \forall x \in \mathbb{R} $. Mâu thuẫn điều kiện $g(x) $ đơn điệu giảm. Trường hợp 2: $g(x) $ là hàm đơn điệu tăng. Theo quy nạp ta có : $g_n(x)=x+n(g(x)-x) =x+nf(x)\forall x \in \mathbb{R} $, trong đó $g_{n}(x) $ được xác định bởi công thức $g_0(x)=x;g_n(x)=g(g_{n-1}(x)) $ Nếu $x \le y \Rightarrow g_n(x) \le g_n(y) \Rightarrow x+nf(x) \le y+nf(y) \Rightarrow f(x) \le f(y) $ Vậy $f(x) $ cũng là hàm đơn điệu tăng. Ta có đẳng thức sau $f(x+nf(x))=f(x) \forall n \in \mathbb{N} $() Trường hợp 2.1: $f(x)= 0 \forall x \in \mathbb{R} $ , kết thúc bài toán. Trường hợp 2.2 : $\exist x_0: f(x_0)>0 $ Từ đây thấy rằng nếu $\exist x_1 : f(x_1) \ne f(x_0) $ thì do tính liên tục nên $\exist x_2 : f(x_2) \ne f(x_0) $ và $0<f(x_2) $ Sử dụng () và tính đơn điệu, ta suy ra ngay mâu thuẫn. Bởi thế $f(x) $ là hàm hằng Trường hợp 2.3 $\exist x_0 : f(x_0)<0 $ Giải tương tự trường hợp 2.2 P/s: Ký hiệu tồn tại , ko thấy được hiển thị ra nên ráng hiểu hén __________________