[psquang_pbc]

Chứng minh của Định lý 1 :

Giả sử lại rằng :

$P(x)=Q(x).R(x).(*) $

ở đây $Q(x) $ và $R(x) $ là các đa thức hệ số nguyên và :

$Q(x)=\sum_{i=0}^hb_ix^i $

$R(x)=\sum_{i=0}^kc_ix^i $

với $b_i\;(i=\overline{0,h})\;,c_j\;(j=\overline{0,k})\ $ là các số nguyên, $h,k>0,h+k=n $

Bằng cách đồng nhất hệ số của 2 vế đẳng thức $(*) $ ta có $a_0=b_h.c_k $. Do $a_0\;\vdots\;p $ nhưng $a\;\not\vdots\;p^2 $ nên hoặc $b_h\;\vdots \;p $ hoặc $c_k\;\vdots \;p. $

Giả sử $b_h\;\vdots \;p $.Ta có chuỗi các đẳng thức sau:

$a_{1}=b_hc_{k-1}+b_{h-1}c_k $

$a_{2}=b_hc_{k-2}+b_{h-1}c_{k-1}+b_{h-2}c_k $

$a_{h}=a_{n-k}=b_{h}.c_{k-h}+b_{h-1}.c_{k-h+1}+...+b_1.c_{k-1}+b_0.c_k $

Trong đẳng thức thứ nhất ta suy ra $b_{h-1}\;\vdots\;p $, tương tự ta cũng có $b_{h-2}\;\vdots\;p $ từ đẳng thức thứ 2. Quá trình đó tiếp tục đến lúc ta có $b_0\;\vdots\;p $ hay $a_n\;\vdots\;p $ vô lí.

Kết thúc chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]