[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$

a) Theo tính chât đối xứng trục thì $EF$ là đường trung bình của tam giác $KBC$ nên ta có đpcm.

b) Chú ý $\widehat{IPK}=\widehat{IPB}+ \widehat{BPK} =\widehat{ICB}+\widehat{KNB}=90^0$ (do $M$ là trực tâm $IKC$) suy ra $S$ là trung điểm cung lớn $BC.$
Hướng 1: Dùng tính chất $K$ là trực tâm tam giác $ADI$, chứng minh $AKDS$ hình bình hành ($SD||AC, SR||AD$).
Hướng 2: Cần chứng minh $(BCQZ)=-1$ hay $BKCU$ là tứ giác điều hòa, điều này hiển nhiên do $\widehat{IPK}=90^0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]