Bài 6) $EH\cap AB={J}; PH\cap AC={I};GK\cap BC={V} $
D là hình chiếu của A xuống BC; $I_{b},I_{c} $ tiếp xúc $AC, AB $ lần lượt tại $M, K $
ta sử dụng định lí Desargues cho hai bộ điểm $(E,H,P) $và $(G,A,K) $
Khi đó đpcm tương đương với việc chứng minh I,J,V thẳng hàng hoặc BC, GK, IJ đồng qui $\Leftrightarrow (ABJG)=(ACIK)(1)\Leftrightarrow \frac{AJ}{AG}:\frac{BJ}{BG}=\frac{AI}{AK}:\frac{CI }{CK}\Leftrightarrow \frac{JA}{JB}.BG=\frac{IA}{IC}.CK\Leftrightarrow \frac{JA}{JB}:\frac{IA}{IC}=\frac{CK}{BG}=\frac{p-b}{p-c} $(do AG=AK) (em chuyển độ dài đại số sang độ dài thường, hi vọng không sai, mà em cũng không biết gõ độ dài đại số
)
((1)em sử dụng tính chất sau: Cho hai đường thẳng d, d' cắt nhau tại O. Các điểm A, B, C thuộc d, các điểm A', B', C' thuộc d'.
Khi đó AA', BB', CC' đồng qui khi và chỉ khi (OABC)=(OA'B'C'))
Áp dụng định lí Menelaus, có
$ \frac{PC}{PD}.\frac{HD}{HA}.\frac{IA}{IC}=1=\frac{ EB}{ED}.\frac{HD}{HA}.\frac{JA}{JB}\Leftrightarrow \frac{JA}{JB}:\frac{IA}{IC}=\frac{PC}{PD}:\frac{EB }{ED}=\frac{ED}{PD}.\frac{PC}{EB} $
$=\frac{I_{c}A}{I_{b}A}.\frac{p-a}{p-a}=\frac{AK}{cos(KAI_{c})}:\frac{AM}{cos(MAI_{b})} =\frac{AK}{sin(\frac{A}{2})}:\frac{AM}{sin(\frac{A }{2})}=\frac{AK}{AM}=\frac{p-b}{p-c} $(đây là điều cần chứng minh)
Cách em không đẹp lắm, anh trình bày cách anh đi anh mathandyou