Trích:
Nguyên văn bởi trungthptpb Cho x+y+z=6 và x, y, z>0. CMR $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} $ |
Bài này hình như trước đây có trong cuốn "Bộ đề tuyển sinh" của Bộ GD-ĐT, cũng từng được dùng làm đề thi ở nhiều nơi rồi. Một bài rất quen thuộc!
Như ý giải của bạn shinomoriaoshi ở trên, mình tiếp 1 chút như sau:
Sau khi đặt như thế thì điều kiện đã cho viết lại là:
$a,b,c>0, 2^{x+y+z}=64\Leftrightarrow abc=64 $.
Cần chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3 \ge 4(a^2+b^2+c^2) $.
Ta có:
$a^3+a^3+64 \ge 3.\sqrt[3]{64a^6}=12a^2\Leftrightarrow a^3+32 \ge 6a^2 $.
Tương tự cho các đánh giá với b, c. Cộng lại theo từng vế, ta được:
$a^3+b^3+c^3+96 \ge 6(a^2+b^2+c^2) $.
Hơn nữa:
$2(a^2+b^2+c^2)\ge 6.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6.\sqrt[3]{64^2}=96 $.
Tiếp tục cộng hai BĐT này lại, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=4 $ hay $x=y=z=2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]