Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang  Đề thi ngày 2.
Bài 4.
a. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AD$ và $P$ là một điểm di động trên $AD$. Các đường thẳng $PB$ và $AC$ cắt nhau ở $E$, các đường thẳng $PC$ và $AB$ cắt nhau ở $F.$ Giả sử tứ giác $AEDF$ nội tiếp. Chứng minh rằng $$\frac{PA}{PD}=(\tan B+\tan C)\cot \frac{A}{2}.$$ b. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và $P$ là một điểm di động trên $AH$. Đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt $BP$ tại $M$, đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$ cắt $CP$ tại $N.$ Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $MN$. Chứng minh $\angle BKC+\angle MAN$ không đổi. |
a) Gọi $L$ là giao của $EF$ và $BC$ suy ra $(LDBC)=-1$, từ đó $DA$ là phân giác $\angle FDE$. Tứ giác $AFDE$ nội tiếp nên $\angle AFE=\angle ADE=\angle ADF=\angle AEF$. Do đó nếu gọi $H$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ với $BC$ thì $AH$ là phân giác $\angle BAC.$
Ta có $(\tan B+\tan C)\cot \frac{A}{2}=(\dfrac{HF}{FB}+\dfrac{HE}{EC})\cdot \dfrac{AF}{FH}=\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}.$
Mặt khác, áp dụng định lý Menelaus suy ra $\dfrac{AP}{PD}\cdot\dfrac{BD}{BC}\cdot\dfrac{EC}{ EA}=1$
Từ đó $\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BC}{BD}. $
Ta cần chứng minh $\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AF}{FB}+ \dfrac{AE}{EC}$ hay $\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{DC}{BD}=\dfrac{AF}{FB}$ , điều này hiển nhiên đúng theo định lý Céva cho tam giác $ABC$ và 3 điểm $D,E,F.$
b) Gọi $I$ là giao của $NB$ và $MC$ thì $I$ nằm trên $(O)$ (điểm đối xứng với $A$ qua $O$). Chú ý rằng $AKBN$ và $AKCM$ nội tiếp nên $\angle NAM+\angle BKC=\angle KBI+\angle KCI+\angle BKC=360^\circ-\angle BIC=const.$
Rõ ràng câu b không cần đến $P$ nằm trên $AH$. Theo nhận xét của mình thì đề cho 2 câu a,b như thế này là không hay, thậm chí 2 câu không liên quan gì đến nhau. Để ý bài hình của VN bao giờ cũng phải có câu a,b. Sao cứ phải làm thế nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]