Trích:
Nguyên văn bởi Juliel  Cho dãy số $(a_n)$ với $n\geq 2$ xác định như sau :
Nếu $n$ có phân tích ra thừa số nguyên tố $$n=p_1^{x_1}.p_2^{x_2}...p_{k_n}^{x_{k_n}}$$
Thì :
$$a_n=\dfrac{1}{p_1}+\dfrac{1}{p_2}+...+\dfrac{1}{ p_{k_n}}$$
a) Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}\left ( a_2a_3...a_n \right )$
b) Chứng minh rằng : $$a_2+a_2a_3+a_2a_3a_4+...+a_2a_3...a_{2012}<1$$ |
Đặt $S_n=a_2+a_3+...+a_n$. Với mỗi số nguyên tố $p$ bất kỳ, từ $2$ đến $n$ có $\dfrac{n}{p}$ số chia hết cho $p$ nên
$$S_n<\dfrac{n}{2^2}+\dfrac{n}{3^2}+\dfrac{n}{5^2} +...+\dfrac{n}{p_k^2}<\dfrac{2(n-1)}{3}.$$
Ngoài ra do $$a_2a_3...a_n\leq(\dfrac{S_n}{n-1})^{(n-1)}<(\dfrac{2}{3})^{(n-1)}.$$
Từ đây suy ra $\lim(a_2a_3...a_n)=0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]