[zinxinh]

Ta có $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$,đặt $n'=(-1)^{\frac{n-1}{2}}n$.Mà $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{4n})$ nhưng $\sqrt {-n'}\notin Q(\epsilon_{n})$ Trong sự kiện này ta có $\Phi_{4n}(x)=(R(x)+\sqrt {-n'}S(x))(R(x)-\sqrt {-n'}S(x))=R^{2}(x)+n'S^{2}(x)$
Đặt {$Z'=x\in \Phi_{4n},(\frac{x}{n})\equiv x (mod $ 4)} .Trong đó R(x),S(x) có các hệ số là nguyên đại số $Z(\sqrt {-n'})$ nhưng vì $-n'\equiv 3 (mod $ 4).Do vậy R(x),S(x) là các đa thức với hệ số nguyên,biết đa thức $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})$ là đa thức chẵn do đó có ác trường hop
Trường hợp 1:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)+\sqrt {-n'}S(x)$ Do đó R(x),S(x) là các đa thức chẵn và $R(x)=A(x^{2}),S(x)=B(x^{2})$
lúc đó $\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})+n'B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(-x)=A^{2}(x)+n'B^{2}(x)$ Khi đó $\sqrt {-n'}\in Q(\epsilon_{n})$ đó là vô lý
Trường hợp 2:$R(-x)+\sqrt {-n'}S(-x)=R(x)-\sqrt {-n'}S(x)$ Đa thức S(x) là hàm lẻ $S(x)=xB(x^{2})$,R(x) là hàm chẵn $R(x)=A(x^{2})$
Vậy là $\Phi_{4n}(x)=\Phi_{n}(-x^{2})=A^{2}(x^{2})-n'x^{2}B^{2}(x^{2})$ hay $\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nxB^{2}(x)$ A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]