Bài bất đẳng thức để ý rằng chỉ cần tìm $k$
nguyên dương, nên chỉ cần dồn biến thuần túy mà không cần khảo sát hàm số (nói cách khác là không tốn công sức tìm $k_{\max}$) như sau:
Trước hết ta chứng minh với mọi $k=13$ thì $f(a,b,c)\ge f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ (1), với $f(a,b,c)=\dfrac1{a}+\dfrac1{b}+\dfrac1{c}+\dfrac k{a+b+c+1}.$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c \Rightarrow a\ge 1\ge \sqrt{bc}.$
$$(1)\Leftrightarrow (\sqrt b-\sqrt c)^2\left(\dfrac1{bc}-\dfrac k{(a+b+c+1)(a+2\sqrt{bc}+1)}\right) \ge0 $$
luôn đúng vì $(a+b+c+1)(a+2\sqrt{bc}+1)\ge (a+2\sqrt{bc}+1)^2\ge16bc>kbc$.
Bây giờ ta chỉ cần kiểm tra $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\ge 3+\dfrac {13}4.$ Thay $\sqrt{bc}=\dfrac1{\sqrt a}=\dfrac1{x}$ thì điều này tương đương
$$ \dfrac{1}{x^2}+2x+\dfrac{13}{\left(x^2+\dfrac{2}{x }+1\right)} \ge 3+\frac{13}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}+2x-3+13\left(\dfrac{x}{\left(x^3+x+2\right)}-\frac{1}{4}\right) \ge 0 $$
hay tương đương $ (x-1)^2[4(2x-3)^2(8x^2+15x+9)+49(x-1)+4]\ge0 $, luôn đúng do $x\ge1$.
Cuối cùng, với $k=14$, cho $a=2.1, b=c=\dfrac1{\sqrt{2.1}}$ thì $VT-VP=-0.000625..<0$. Đương nhiên BĐT sai với $k=k_0$ thì cũng sai với $k>k_0$. Vậy số nguyên dương lớn nhất của $k$ để BĐT đúng là $k_{\max}=13$.
Bài này hiểm ở chỗ, nếu không cẩn thận có thể nhầm $k_{\max}=14$, là trường hợp mà xảy ra dấu bằng xảy ra tại 1 điểm đặc biệt $a=2,b=c=\dfrac1{\sqrt2}$. Nếu $k=14$ mà đúng thì bài BĐT này trở nên đẹp hơn nhiều, tiếc là điều đó không xảy ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]