Xem bài viết đơn
Old 30-07-2012, 03:37 PM   #3
Tuannthd
+Thành Viên+
 
Tuannthd's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: THPT Nguyen Trai Hai Duong
Bài gởi: 193
Thanks: 14
Thanked 88 Times in 59 Posts
Ơ cái này quất được đúng không??? Mấy bữa trước đọc tưởng viết để tham khảo
Trích:
$\fbox{Bài 2/137.}$ Cho $n $ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu phương trình $x^2+xy-y^2=n $ có ít nhất một nghiệm nguyên thì có vô số nghiệm nguyên.
Pt đã cho tương đương với pt PellL $(2x+y)^2-5y^2=4n $.
Đặt $2x+y=a $ và $y=b $ ta được pt
$a^2-5b^2=4n(2) $ Vì pt đầu có nghiệm nên pt này cũng có ít nhất 1 nghiệm (u,v)
Chú ý rằng pt Pell loại 1 $a^2-5b^2=1 $ luôn có vô số nghiệm và gọi (p,q) là nghiệm bé nhất của nó.
Xét dãy $\begin{cases} a_1=u,b_1=v\\a_{n+1}=pa_n+5qb_n \\ b_{n+1}=pb_n+qa_n \end{cases} $
Khi đó dễ dàng kt $(a_n,b_n) $ là nghiệm của (2) nhờ quy nạp
Chú ý rằng $a_n,b_n $ luôn cùng tính chẵn lẻ vì $a_n^2-5b_n^2=4n $
Như vậy ta có 1 họ nghiệm của (2) là
$x_n=\frac{a_n-b_n}{2}, y_n=b_n $. Chú ý là dãy $b_n $ tăng nên dãy $y_n $ tăng vì vậy tất cả các nghiệm trên đều pbiệt. Điều này chứng tỏ pt đầu có vô số nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Trầm, 30-07-2012 lúc 10:25 PM Lý do: ...
Tuannthd is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Tuannthd For This Useful Post:
Juliel (30-07-2014)
 
[page compression: 9.63 k/10.79 k (10.83%)]