Ơ cái này quất được đúng không??? Mấy bữa trước đọc tưởng viết để tham khảo
Trích:
$\fbox{Bài 2/137.}$ Cho $n $ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu phương trình $x^2+xy-y^2=n $ có ít nhất một nghiệm nguyên thì có vô số nghiệm nguyên. |
Pt đã cho tương đương với pt PellL $(2x+y)^2-5y^2=4n $.
Đặt $2x+y=a $ và $y=b $
Hì cứ đặt
ta được pt
$a^2-5b^2=4n(2) $ Vì pt đầu có nghiệm nên pt này cũng có ít nhất 1 nghiệm (u,v)
Chú ý rằng pt Pell loại 1 $a^2-5b^2=1 $ luôn có vô số nghiệm và gọi (p,q) là nghiệm bé nhất của nó.
Xét dãy $\begin{cases} a_1=u,b_1=v\\a_{n+1}=pa_n+5qb_n \\ b_{n+1}=pb_n+qa_n \end{cases} $
Khi đó dễ dàng kt $(a_n,b_n) $ là nghiệm của (2) nhờ quy nạp
Chú ý rằng $a_n,b_n $ luôn cùng tính chẵn lẻ vì $a_n^2-5b_n^2=4n $
Như vậy ta có 1 họ nghiệm của (2) là
$x_n=\frac{a_n-b_n}{2}, y_n=b_n $. Chú ý là dãy $b_n $ tăng nên dãy $y_n $ tăng vì vậy tất cả các nghiệm trên đều pbiệt. Điều này chứng tỏ pt đầu có vô số nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]