Bài 4:
Bổ đề: Số nguyên tố $p \neq 3 $ bất kì thì $p^{2} $ chia 3 dư 1.
Ta có:
TH1: q, r cùng khác 3. Suy ra $3 | p^{n} \Rightarrow p = 3 \Rightarrow (r + q)(r - q) = 3^{n} $
$\Rightarrow \begin{cases}r + q = 3^{u}\\r - q = 3^{v}\end{cases} (u, v \in \mathbb{N} ; u > v > 0) $
$\Rightarrow 2q = 3^{v}(3^{u - v} - 1) \Rightarrow \begin{cases}u - v = 1\\q=3^{v}\end{cases} $ (mâu thuẫn).
TH2: $r = 3 $. Suy ra $q = 2 \Rightarrow p^{n} = 5 $ (mâu thuẫn).
TH3: $q = 3 $. Suy ra $p^{n} = (r + 3)(r - 3) $
$\Rightarrow \begin{cases}r + 3 = p^{x}\\r - 3 = p^{y}\end{cases} (x, y \in \mathbb{N} ; x > y > 0) $
$\Rightarrow 6 = p^{x}(p^{x - y} - 1) \Rightarrow p^{y} | 6 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow p \in {2 ; 3} $.
Từ đó, ta tính đc nghiệm $(p ; q ; r) $ là $(2 ; 3 ; 5) $.
Mong moị người góp ý!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]