Nhầm đề
Bài 6: Giử sử tổng số kẹo là $kn $, ta sẽ chứng minh:
Kết quả 1: Gọi $t \le k-1 $ là số kẹo nhỏ nhất mà một học sinh có, và có $m $ học sinh giữ đúng $t $ cái kẹo, khi đó có thể chuyển kẹo theo quy tắc ở bài toán mà sau một số hữu hạn lần thì số học sinh giữ đúng $t $ cái kẹo là $m-1 $.
Chứng minh: Ta xét học sinh $A $ giữ $t $ cái kẹo và người bên trái người đó là $B $ có ít nhất $t+1 $ cái kẹo. Nếu $B $ giữ $\ge t+1 $ cái kẹo, thì ta chuyển một cái từ $B $ sang $A $. Khi đó kết quả 1 được chứng minh. Nếu $B $ giữ đúng $t+1 $ cái kẹo, thì ta chuyển một kẹo từ $B $ sang $A $ , nếu $B $ giữ $t $ cái thì không làm gì cả và bắt đầu lại như trên từ $B $, theo chiều kim đồng hồ. Hiển nhiên do tổng số kẹo là $kn $ nên có học sinh giữ ít nhất là $k+1\ge t+2 $ cái kẹo nên quá trình trên sẽ dừng sau một số hữu hạn lần ( không quá $ n-1 $ lần tính toán kĩ). Như vậy thì kết quả 1 được chứng minh.
Kết quả 2: Nếu tại thời điểm $X $, số kẹo nhỏ nhất là $t \le k-1 $, thì ta có thể chuyển kẹo sao cho ở thời điểm $Y $, số kẹo nhỏ nhất là $t+1 $.
Chứng minh: áp dụng kết quả
1 $m $ lần với $m $ là số học sinh giữ đúng $t $ kẹo.
Từ kết quả 2: Ta có ngay kết luận của bài toán là đúng.
Điều kiện tổng số kẹo là $kn $ được sử dụng để chỉ ra là luôn tồn tại $2 $ người kề nhau mà người bên trái hơn người bên phải ít nhất $2 $ chiếc kẹo ( nếu không phải tất cả đều bằng nhau).
Nếu số kẹo không là $kn $ thì sẽ gặp vòng lặp vô hạn : ví dụ tổng số kẹo là $kn-v $, thì với trạng thái $k-1,k-1,...,k-1,k,k,..k $, ta sẽ gặp vòng lặp vô hạn. Nó đúng bởi vì ta chẳng thể nào có thể chuyển kẹo mà mỗi học sinh có số kẹo như nhau cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]