Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

zinxinh · 20-09-2022, 11:06 PM

Cách đây bốn năm (2018) tôi cùng với một vài người bạn trao đổi giải phương trình nghiệm nguyên $latex x^{3}+4x=y^{2}$.Bây giờ nhớ lại tôi tạm post ra đây các bạn theo dõi

Gọi d=$latex UCLN(x,x^{2}+4)$ .Vì vậy $latex x\vdots d$ và $latex (x^{2}+4)\vdots d$ từ đó suy ra $latex 4 \vdots d$ do đó d=1,2,4
1)Nếu d=1 thì $latex x^{2}+4 =m^{2}$ và $latex x=n^{2}$ trong đó m,n là số tự nhiên do đó $latex m^{2}=n^{4}+4=>(m-n^{2})(m+n^{2})=4$
Mà $latex m-n^{2},m+n^{2}$ cùng tính chẵn lẻ nên m=2,n=0 do đó x=y=0
2)Nếu d=2 =>x=2z trong đó z là số nguyên lẻ =>$latex y^{2}=8z(z^{2}+1)=>2z=2m^{2},z^{2}+1=2n^{2}$ m,n là số tự nhiên
Từ đó $latex 2n^{2}=m^{4}+1$ Chú ý rằng $latex (m^{2}+1)^{2}=m^{4}+2m^{2}+1=2n^{2}+2m^{2}$ và $latex (m^{2}-1)^{2}=m^{4}-2m^{2}+1=2n^{2}-2m^{2}$.Nhân hai phương trình trên ta nhận được $latex (m^{4}-1)^{2}=4(n^{4}-m^{4})$.Vì $latex m^{4}\equiv 1(\mod 4)$ ta viết lại $latex (\frac{m^{4}-1}{2})^{2}=n^{4}-m^{4}$.Đây là phương trình Diophantine đã biết $latex x^{4}-y^{4}=z^{2}$ chỉ có nghiệm tầm thường $latex m^{4}-1=0$ suy ra m=1 hoặc m=-1 .Nên (x,y)=(2,4);(2,-4)

Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả $latex x^{4}=y^{4}+z^{2}$ chỉ có nghiệm tầm thường xyz=0 bằng phương pháp xuống thang huyền thoại của định lý fecma lớn.Viết lại phương trình $latex (x^{2})^{2}=(y^{2})^2+z^{2}$ theo phương trình Pythagorean ta có hai trường hợp

Nếu $latex y^{2}=2mn$ suy ra $latex m=u^{2},n=2v^{2}$

20-09-2022, 11:06 PM	#14
zinxinh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts	Cách đây bốn năm (2018) tôi cùng với một vài người bạn trao đổi giải phương trình nghiệm nguyên $latex x^{3}+4x=y^{2}$.Bây giờ nhớ lại tôi tạm post ra đây các bạn theo dõi Gọi d=$latex UCLN(x,x^{2}+4)$ .Vì vậy $latex x\vdots d$ và $latex (x^{2}+4)\vdots d$ từ đó suy ra $latex 4 \vdots d$ do đó d=1,2,4 1)Nếu d=1 thì $latex x^{2}+4 =m^{2}$ và $latex x=n^{2}$ trong đó m,n là số tự nhiên do đó $latex m^{2}=n^{4}+4=>(m-n^{2})(m+n^{2})=4$ Mà $latex m-n^{2},m+n^{2}$ cùng tính chẵn lẻ nên m=2,n=0 do đó x=y=0 2)Nếu d=2 =>x=2z trong đó z là số nguyên lẻ =>$latex y^{2}=8z(z^{2}+1)=>2z=2m^{2},z^{2}+1=2n^{2}$ m,n là số tự nhiên Từ đó $latex 2n^{2}=m^{4}+1$ Chú ý rằng $latex (m^{2}+1)^{2}=m^{4}+2m^{2}+1=2n^{2}+2m^{2}$ và $latex (m^{2}-1)^{2}=m^{4}-2m^{2}+1=2n^{2}-2m^{2}$.Nhân hai phương trình trên ta nhận được $latex (m^{4}-1)^{2}=4(n^{4}-m^{4})$.Vì $latex m^{4}\equiv 1(\mod 4)$ ta viết lại $latex (\frac{m^{4}-1}{2})^{2}=n^{4}-m^{4}$.Đây là phương trình Diophantine đã biết $latex x^{4}-y^{4}=z^{2}$ chỉ có nghiệm tầm thường $latex m^{4}-1=0$ suy ra m=1 hoặc m=-1 .Nên (x,y)=(2,4);(2,-4) Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả $latex x^{4}=y^{4}+z^{2}$ chỉ có nghiệm tầm thường xyz=0 bằng phương pháp xuống thang huyền thoại của định lý fecma lớn.Viết lại phương trình $latex (x^{2})^{2}=(y^{2})^2+z^{2}$ theo phương trình Pythagorean ta có hai trường hợp Nếu $latex y^{2}=2mn$ suy ra $latex m=u^{2},n=2v^{2}$