Xem bài viết đơn
Old 13-01-2018, 03:54 PM   #18
buratinogigle
Administrator

 
buratinogigle's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2016
Bài gởi: 50
Thanks: 57
Thanked 58 Times in 33 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi buratinogigle View Post

Bài toán 20. Trong mặt phẳng cho một hình vuông và một tam giác đều bất kỳ. Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng có một đầu mút là đỉnh hình vuông và đầu mút còn lại là đỉnh tam giác đều luôn tồn tại một đoạn thẳng có độ dài vô tỷ.
Lời giải của anh Tạ Hoàng Linh từ facebook.

Giả thiết ngược lại: Có 3 điểm "toạ độ nguyên" làm thành tam giác đều ABC vs độ dài cạnh = d.

->
a./ s(ABC) = 1/2 * d * (d.3^(1/2) / 2)
= 1/4 * d^2 * 3^(1/2)
vs d^2 = Nguyên; 3^(1/2) = Vô tỷ.
s(ABC) = Vô tỷ. (*)

b./ s(ABC) cũng =
s(Hình chữ nhật ngoại tiếp ABC)
-
s(Vài mảnh tam giác ba-via tương ứng)
vs
Mỗi mảnh ba-via là một tam giác vuông có các đỉnh là "toạ độ nguyên".
s(mỗi mảnh ba-via) = 1/2 * "Tích 2 cạnh vuông" = Hữu tỷ.

->
s(ABC) = Hữu tỷ - (Hữu tỷ + ... + Hữu tỷ) = Hữu tỷ.
vs a./ s(ABC) = Vô tỷ....Mâu thuẫn...!!

->
(*) Được xác minh.

Áp dụng kết quả (*) vào bài tập…
(**) Nếu có hình vuông H và tam giác đều T, mà tất cả các đoạn/các cặp “Đỉnh H <-> Đỉnh T” có độ dài = Hữu tỷ...

->
Phóng to tất cả theo tỷ lệ phù hợp, sẽ thu được ảnh H1, T1 mà: Tất cả các đoạn “Đỉnh H1 <-> Đỉnh T1” có độ dài = Nguyên.
(Chẳng hạn: Các khoảng cách = Hữu tỷ: d1 = a1/b1, d2 = a2/b2; … -> Nhân tất cả lên với tích các mẫu số b1.b2…bn; Ratio r = b1.b2…bn)

Xây dựng hệ tọa độ theo cách:
Tâm O = Tâm hình vuông H1.
4 đỉnh H1 có tọa độ lần lượt: P1 = (a, a); P2 = (-a, a); P3 = (-a, -a); P4 = (a, -a)

Với tam giác đều T1, tọa độ các đỉnh: A = (x1, y1); B = (x2, y2); C = (x3, y3)

A = (x1, y1) vs 2 đỉnh P1, P2 của H1.
(x1 - a)^2 + (y1 – a)^2 = AP1^2 = Nguyên.
(x1 + a)^2 + (y1 – a)^2 = AP2^2 = Nguyên.

AP2^2 - AP1^2 = 4a.x1 = Nguyên/Z.

A = (x1, y1) vs 2 đỉnh P1, P4 của H1.
(x1 - a)^2 + (y1 - a)^2 = AP1^2 = Nguyên.
(x1 - a)^2 + (y1 + a)^2 = AP4^2 = Nguyên.

AP4^2 - AP1^2 = 4a.y1 = Nguyên/Z.

Tương tự và gom kết quả:
A' = (4a.x1, 4a.y1) = (Z, Z)
B' = (4a.x2, 4a.y2) = (Z, Z)
C' = (4a.x3, 4a.y3) = (Z, Z)

->
A'B'C' = Ảnh phóng to/thu nhỏ tam giác đều ABC vs tỷ lệ 4a.
A'B'C' cũng là tam giác đều... - Và có các đỉnh "toạ độ nguyên"...
vs Kết quả (*)... -> No...

->
Giả thiết (**) "Có hình vuông H và tam giác đều T, mà tất cả các đoạn/các cặp “Đỉnh H <-> Đỉnh T” có độ dài = Hữu tỷ" KHÔNG xảy ra...

Phải có đoạn nào đó có độ dài = Vô tỷ...?!

Bài toán 21. Một đa giác lồi trên mặt phẳng tọa độ chứa trong nó $m^2+1$ điểm nguyên. Chứng minh rằng trong các điểm đó phải có $m+1$ điểm thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Blog hình học sơ cấp [Only registered and activated users can see links. ]
buratinogigle is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 11.20 k/12.38 k (9.54%)]