Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife  Từ hệ thức đã cho dễ dàng suy ra f là song ánh.
Từ đó $\exists a:f(a)=0 $. Thay a vào x:
$f(f(y))=y $ $\forall y \in R $
Lại thay x bởi f(x):
$f(f(x)f(f(x))+f(y))=y+f^2(f(x)) $
Hay $f(xf(x)+f(y))=y+x^2 $
Kết hợp với đề bài suy ra: $f^2(x)=x^2 $ $\forall x\in R $
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $
Suy ra: $f(x)=x+2b^2 $ $\forall x\in R $
Thay vào đề có được b=0
Vậy $f(x)=x $. Kiểm tra lại thấy hàm này thoả đề. |
Bài làm này ra thiếu hàm rồi bạn, còn một hàm thỏa là $f(x)=-x $. Lỗi sai ở đây là chỗ này:
Trích:
Giả sử tồn tại b sao cho $f(b)=-b $. Thay b vào x trong đề bài:
$f(-b^2+y)=y+b^2 $ |
Nếu đúng phải là $f(-b^2+f(y))=y+b^2 $.
Tuy nhiên vẫn có thể giải tiếp như sau:
Ta có $f^2(x)=x^2 $, suy ra $f(1)=1,f(1)=-1 $.
Từ phương trình hàm ban đầu, bình phương 2 vế, ta được
$f^2(xf(x)+f(y))=(y+f^2(x))^2 $
Sử dụng dữ kiện $f^2(x)=x^2 $, có thể thấy ngay điều trên tương đương với
$yf^2(x)=f(y)xf(x) $
Thay $x=1 $, ta có ngay 2 hàm thỏa. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]