Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa  Bài 21: (Albania 2002)
Cho $x,y,z $ là các số dương. Cm:
$\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{ {z}^{2}})\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge x+y+z+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} $ |
Lời giải: Ta có $VP= x+y+z+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\leq \sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2 \right)}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}= \left(\sqrt{3} +1\right)\left( \right)\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} $
Cần chứng minh: $\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{ {z}^{2}})\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge \left(\sqrt{3} +1\right)\left( \right)\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} $
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\geq 3\sqrt{3} $
BĐT cuối đúng vì $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\left(\frac{1} {x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\geq \frac{x+y+z}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y }+\frac{1}{z} \right)\geq \frac{1}{\sqrt{3}}.9=3\sqrt{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]