[psquang_pbc]

Tiếp theo mình update thêm ví dụ cho mọi người làm quen thêm.

Ví dụ 3. Tìm mọi hàm số $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^+ $ thỏa mãn

$f(x).f(y)=2.f(x+yf(x)). $

[ IMO Shortlist ? ]

Giải. Thêm biến theo ý tưởng tự nhiên, ta có

$f(x).f(y).f(z)=2.f(z).f(x+y.f(x)) $
$=2.f(z+(x+y.f(x)).f(z)) $
$=2.f(z+x.f(z)+2y.f(z+x.f(z))) $
$=2.f(2y).f(z+x.f(z)) $
$=f(2y).f(x).f(z) $

Do đó $f(y)=f(2y) $ với mọi $y $.

Nếu tồn tại $x_1>x_2 $ mà $f(x_1)<f(x_2) $ ta chọn $y=\frac{x_1-x_2}{f(x_2)-f(x_1)} $ thì ta có $f(y).f(x_1)=f(y).f(x_2), $vô lý. Vậy $f(x)\ge f(y) $ với mọi $x\ge y $. Kết hợp với đẳng thức phía trên ta có $f(x) $ là hằng số. Thử lại ta có $f(x)=2,\forall x\in\mathbb{R}^+ $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]