[namdung]

Tôi sẽ tiếp tục phân tích con đường đi đến cách giải cho các bài 1 và 5 trong các post tiếp theo. Tuy nhiên, nói về một bài toán đã biết lời giải thì cũng khó và dễ bị đánh giá là "đã biết lời giải rồi thì nói thế nào chẳng được". Và cũng để tạo hứng thú cho các bạn, tôi post lên đây đề thi USAMO vừa qua để chúng ta cùng giải và phân tích.
USAMO 2010, Ngày thứ nhất 27/4/2010. Thời gian làm bài 4:30
Bài 1. Cho AXYZB là ngũ giác lồi nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. Gọi P, Q, R, S là chân đường vuông góc hạ từ Y xuống AX, BX, AZ, BZ tương ứng. Chứng minh rằng góc nhọn hợp bởi PQ và RS bằng một nửa góc XOZ trong đó O là trung điểm của AB.
Bài 2. Có n học sinh xếp thành 1 hàng dọc. Các học sinh này có chiều cao $h_1 < h_2 < ... < h_n $. Nếu học sinh có chiều cao $h_k $ đừng ngay sau học sinh có chiều cao $h_{k-2} $hoặc thấp hơn thì cho phép hai học sinh này đổi chỗ. Chứng minh rằng không thể thực hiện nhiều hơn $C^3_n $ phép chuyển như vậy cho đến khi không thể thực hiện một phép chuyển như vậy nữa.
Bài 3. 2010 số dương $a_1, a_2, ..., a_{2010} $ thỏa mãn điều kiện $a_ia_j \le i+j $ với mọi chỉ số $i \ne j $. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $a_1.a_2...a_{2010} $.
USAMO 2010, Ngày thứ hai 28/4/2010. Thời gian làm bài 4:30
Bài 4. Cho tam giác $ABC $ có $A = 90^0 $. Các điểm D và E nằm trên các cạnh AC và AB tương ứng sao cho góc ADB = góc DBC. Các đoạn BD và CE cắt nhau tại I. Hỏi có thể xảy ra tình huống các đoạn AB, AC, BI, CI, DI, EI đều có độ dài nguyên?
Bài 5. Cho $q = \frac{3p-5}{2} $ trong đó p là một số nguyên tố lẻ và đặt $S_q = \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{5.6.7} + ... +\frac{1}{q(q+1)(q+2)}. $ Chứng minh rằng nếu $\frac{1}{p} - 2S_q = \frac{m}{n} $ với m, n nguyên thì m - n chia hết cho p.
Bài 6. Trên bảng có 68 cặp số nguyên khác 0. Giả sử rằng với mọi số nguyên dương k, nhiều nhất một trong hai cặp (k, k) và (-k,k) được có trên bảng. Một học sinh xóa một số số trong 136 số với điều kiện là không có hai số nào được xóa có tổng bằng 0. Với mỗi cặp số trong đó có ít nhất một số bị xóa, học sinh đó được 1 điểm. Hãy tìm số điểm N lớn nhất mà học sinh đó có thể có bất chấp 68 cặp số trên bảng là những cặp số nào.
-----
Sau đây là bài tập dành cho các bạn:
1) Hãy lập ra chiến thuật làm bài cho từng ngày.
2) Hãy cố gắng giải và trình bày đầy đủ các bài mà bạn có lời giải hoành chỉnh. 3) Hãy thử kiếm điểm ở những bài toán khác.
--- Chú ý, thời gian làm bài mỗi ngày là 4h30 phút.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]