Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 Các bạn giúp mình bài tập này Cho tam giác ABC nhọn CMR $cos(\frac{A - B}{2}) + cos(\frac{B - C}{2}) + cos(\frac{C - A}{2}) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{a + b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} + \frac{b + c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} + \frac{c + a}{\sqrt{c^{2} + a^{2}}}) $ |
$cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = \frac{{cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)cos\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{\cos A + \cos B}}{{2\sqrt {\frac{{1 - \cos C}}{2}} }} $
$= \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{2\sqrt {\frac{{1 - \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{2}} }} = \frac{{\frac{{(a + b)({c^2} - {{(a - b)}^2})}}{{abc}}}}{{2\sqrt {\frac{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}}{{ab}}} }} = \frac{{(a + b)\sqrt {{c^2} - {{(a - b)}^2}} }}{{2c\sqrt {ab} }} $
ta sẽ chứng minh
$\frac{{(a + b)\sqrt {{c^2} - {{(a - b)}^2}} }}{{2c\sqrt {ab} }} \le \frac{{a + b}}{{\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} $
$\Leftrightarrow \frac{{2ab{c^2}}}{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}} \ge {a^2} + {b^2} $
$\Leftrightarrow \frac{{2ab{{(a - b)}^2}}}{{{c^2} - {{(a - b)}^2}}} \ge {(a - b)^2} $
$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2} $(luôn đúng khi ABC là tam giác nhọn)
vậy $cos\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \le \frac{{a + b}}{{\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }} $
làm 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta được đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]