Ðề tài: The inequality
Xem bài viết đơn
Old 28-12-2010, 07:47 PM   #6
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
A,b,c >0 và abc =1
CM

b)
$ \sum \frac{x}{x^2+x+1} \leq \sum \frac{1}{x+2} $
Để làm bài toán này cần có 2 bổ đề:
1). Cho a,b,c>0,abc=1. Khi đó:$\sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1 $

Chứng minh. Đặt $x=\frac{mn}{p^2};y=\frac{np}{p^2};z=\frac{mp}{n^2} $. Vế trái của 1) có dạng:
$\sum \frac{p^4}{m^2n^2+2mnp^2+p^4}\geq \frac{(p^2+m^2+n^2)^2}{\sum p^4+\sum m^2n^2+2\sum mnp^2}\geq 1 $ (vì $\sum m^2n^2\ge \sum mnp^2} $

2). Cho $u \gev >0 $. Khi đó
$\frac{1-u}{u^2+u+1}\le \frac{1-v}{v^2+v+1} $ khi và chỉ khi $u+v+2\ge uv $
Dễ chứng minh 2).

Trở lại bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử $x\gey\gez $. Khi đó $yz \le1 \Rightarrow yz<2\sqrt{yz}<y+z+2 $ và $(x-1)(z-1)\le0 \Rightarrow zx\le x+z-1<x+z+2 $. Xét 2 trường hợp:

1) $xy\le x+y+2 $. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương:
$\sum \frac{1-x}{(x+2)(x^2+x+1)}\ge0 $ $(1) $
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ cùng chiều: $\frac{1}{x+2} $ và $\frac{1-x}{x^2+x+1} $:
$VT(1) \ge \frac{1}{3}\sum \frac{1}{x+2}\sum \frac{1-x}{x^2+x+1} $

Áp dụng bổ đề 1) cho 2 bộ số $\frac{1}{x} $ và $x $:
$\sum \frac{x^2+2}{x^2+x+1}\geq 3 $
$\Leftrightarrow \sum \frac{1-x}{x^2+x+1}\geq 0 $

Vậy BDT dc CM trong trường hợp này.

2) $xy>x+y+2 $ $\Rightarrow xy>2\sqrt{xy}+2 \Rightarrow xy>4+2\sqrt{3} \Rightarrow z<\frac{2-\sqrt{3}}{2}=z_0 $. Xét hàm:
$f(t)=\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)} $

Lập bảng biến thiên suy ra: $f $ nghịch biến với $t<1 $
Do đó: $f(z)>f(z_0) $
Mặt khác:
$\frac{1-t}{(t+2)(t^2+t+1)}>-\frac{1}{20} $

$\Leftrightarrow t^3+3t^2+22-17t>0 $

$\Leftrightarrow (t-2)^2(t+4)+3(t-1)^2+t+3>0 $ (đúng với t>0)
Vậy $f(x)+f(y)+f(z)>-\frac{1}{10}+f(z_0)>0 $ (máy tính)
Bất đẳng thức dc chứng minh hoàn toàn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 28-12-2010 lúc 09:20 PM
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
avip (28-12-2010), daylight (28-12-2010), nhox12764 (28-12-2010), Unknowing (28-12-2010)
 
[page compression: 10.14 k/11.29 k (10.22%)]