Trích:
Nguyên văn bởi nguoibimat  Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$ |
Giả sử $c=\max \{a,b,c\}$. Suy ra $1\le c\le 3$. Lúc đó
Nếu $c\ge 2$ thì $$a^2+b^2+c^2+abc \ge c^2\ge 4$$
Ngược lại, nếu $1\le c\le 2$ thì
\[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+abc &=(a+b)^2+c^2+(c-2)ab\ge (a+b)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(a+b)^2\\ &=(3-c)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(3-c)^2= \dfrac{1}{4}(c-1)^2(c+2)+4\ge 4\end{aligned}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]