Trong topic này, 99 xin phép trình bày một kiến thức
rất cơ bản trong Toán, đó là
Phân Thớ Vector. Để nghiên cứu một đa tạp vi phân, ngoài việc nghiên cứu bản thân nó, ta có thể nghiên cứu phân thớ vector trên nó.
Tài liệu tham khảo :
1.
Wells Jr. R. O. : Differential Analysis on Complex Manifolds. 2. Thierry Aubin : Differential Geometry
3.
Raoul Bott and Loring W.Tu : Differential Forms in Algebraic Topology.
Cuốn 1 trình bày phân thớ vector phức/hermit , 99 quan tâm đến cái này hơn. Cuốn 3 , phần đầu, trình bày về phân thớ vector thực.
Cuốn 2 dùng để nhập môn hình học vi phân, viết ngắn gọn, súc tích.
Ngoài ra có thể tham khảo
4. Narasimhan : Analysis on Real and Complex Manifolds
Cuốn 4 nói thực là rất khó đọc, 99 cũng chỉ dùng để tra kết quả :rokeyrulez:
================================================== ==
Phần một : sơ lược về đa tạp vi phân. I: Đa tạp vi phân :
1.Giả sử M là không gian topo Hausdorff , có cơ sở đếm được.
$(U,\phi) $ được gọi là bản đồ địa phương (local chart) của M nếu : U là tập con mở của M và $\phi : U \to \phi(U) $ là một đồng phôi, trong đó $\phi(U) $ là tập con mở của $R^m $
2.Giả sử $\mathfrak{A} = \{(U_i,\phi_i) : i\in I \} $ họ các bản đồ địa phương của $M $.
Nói $\mathfrak{A} $ là một atlas của M nếu
- $\cup_{i\in I}U_i = M $
- $\forall (U_i,\phi_i) $ , $(U_j,\phi_j) \in \mathfrak{A} $ mà $U_i\cap U_j \neq \empty $ thì $\phi_j\circ \phi_i^{-1} : \phi_i(U_i\cap U_j) \to \phi_j(U_i\cap U_j) $ là ánh xạ nhẵn
Hai bản đồ địa phương mà thỏa mãn điều kiện thứ hai ở trên được gọi là hai bản đồ tương thích với nhau (compatible)
Ánh xạ $\phi_j\circ \phi_i^{-1} $ được gọi là phép chuyển bản đồ.
Lưu ý thuật ngữ : thuật ngữ nhẵn luôn luôn có nghĩa là khả vi vô hạn.
3.Giả sử $\mathfrak{A} $ và $\mathfrak{A}^' $ là hai atlas của M. Ta nói $\mathfrak{A} $ tương đương với $\mathfrak{A}^' $ nếu $\mathfrak{A}\cup\mathfrak{A}^' $ cũng là một atlas của M . Vậy hai atlas là tương đương nếu mỗi cặp bản đồ của hai atlas là tương thích.
Do đó, mọi atlas luôn nằm trong một atlas cực đại.Ta có định nghĩa
Định nghĩa : Một atlas cực đại của M được gọi là một cấu trúc vi phân trên M
4. Định nghĩa: Cặp $(M $,cấu trúc vi phân $\mathfrak{A}) $ được gọi là đa tạp vi phân (hay còn gọi là đa tạp nhẵn, đa tạp khả vi (vô hạn))
Ví dụ : Nếu M là tập mở của $R^m $ thì (M, $id: M\to M $) là một bản đồ địa phương. Và do đó M là một đa tạp vi phân (với cấu trúc chính tắc của $R^m $). Lưu ý là trên M có thể có nhiều cấu trúc vi phân chứ không phải chỉ có cấu trúc cảm sinh bởi $R^m $
II: Đa tạp con (submanifold): giả sử M là đa tạp nhẵn m chiều, và $\empty \neq N \subset M $. N được gọi là đa tạp con n chiều của M nếu $\forall x\in N $ tồn tại bản đồ địa phương $(U,\phi) $ của M quanh x sao cho $\phi(U\cap N) = W\times \{0\} \subset R^m $ , $W $ mở $\subset R^n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]