Trích:
Nguyên văn bởi vietha_b2sty  Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $
Tìm Min của
$ A = a^2+b^2+c^2+ \frac {ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} $
Xin cảm ơn! |
Ta chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a $ (*)
$ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) $
$ \Leftrightarrow \sum a^{3} + \sum ab^{2} \geq 2(\sum a^{2}b) $
Ta có $ \sum a^{3} + \sum ab^{2} \geq \sum 2a^{2}b $ ( theo AM-GM )
Do đó $(*) $ đúng $ \Rightarrow A \geq \sum a^{2} + \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} $
Đặt $ y=a^{2}+b^{2}+c^{2} $
Khi đó ta chỉ cần khảo sát hàm $ t+ \frac{9-t}{2t} ,t \geq 3 $
$ t + \frac{9-t}{2t} = \frac{t}{2} + \frac{9}{2t} + \frac{t}{2} -\frac{1}{2} \geq 4 $
Vậy $A min =4 $ khi $a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]