Trích:
Nguyên văn bởi vnt.hnue Tồn tại hay không các đa thức $a(x),\,b(x),\,c(y),\,d(y)$ thỏa mãn $$1+xy+x^{2}y^{2}=a(x)c(y)+b(x)d(y).$$ |
Giả sử tồn tại các đa thức thỏa mãn đẳng thức trên, khi đó
$1=c(0)a(x)+b(0)d(x),1+x+x^{2}=c(1)a(x)+d(1)b(x),1-x+x^{2}=c(-1)a(x)+d(-1)b(x)$. Do đó :
$1=c(0)a(x)+d(0)b(x)$
$2x=(-c(0)+c(1)-c(-1))a(x)+(-d(0)+d(1)-d(-1))b(x)$
$2x^{2}=(-2c(0)+c(1)+c(-1))a(x)+(-2d(0)+d(1)+d(-1))b(x)$
Từ đó ta có hệ 3 vector độc lập tuyến tính trong không gian 2 chiều sinh bởi $a(x)$ và $b(x)$, vô lý. Do đó không tồn tại các đa thức trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]