Trích:
Nguyên văn bởi herr.casanova  Mình có một cách sơ cấp hơn cho việc chứng mình $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots $ tiến tới vô cùng như sau:
$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots +\frac{1}{9} > \frac{9}{9} > \frac{9}{10} $
$\frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{99} > \frac{90}{99} > \frac{9}{10} $
...
Hay tổng quát:
$\frac{1}{10^n}+ \dots + \frac{1}{10^{n+1}-1} > \frac{9\times 10^n}{10^{n+1}-1} > \frac{9}{10} $
Cho $n $ chạy từ $0 $ đến $\infty $ ta sẽ có điều phải chứng minh |
Cách này có sơ cấp không?
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$\frac{2}1+\frac{3}2+\frac{4}3+...+\frac{n+1}n\ge n\sqrt[n]{n+1} $
hay $(1+1)+(1+\frac{1}2)+(1+\frac{1}3)+...+(1+\frac{1}n )\ge n\sqrt[n]{n+1} $
nghĩa là $1+\frac1{2}+...+\frac1{n}\ge n(\sqrt[n]{n+1}-1) $
Tất nhiên $n(\sqrt[n]{n+1}-1)\rightarrow +\infty $ khi $n\rightarrow +\infty $. Xong!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]