[novae]

Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 180 phút

Bài 1 (5.0 điểm). Cho hai dãy số dương $(x_n), (y_n)$ xác định bởi $x_1=1, y_1=\sqrt{3}$ và
$$ \begin{cases} x_{n+1} y_{n+1} - x_n = 0 \\ x^2_{n+1} + y_n = 2 \end{cases} $$
với mọi $n=1,2,\ldots$. Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Bài 2 (5.0 điểm). Cho đa thức $P(x) = (x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Bài 3 (5.0 điểm). Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.

1. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
2. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Bài 4 (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D \ne B$) và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.

1. Chứng minh rằng $EF = \dfrac{BC}{2}$.
2. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P \ne B$). Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]