Trích:
Nguyên văn bởi zeus_S1  Cho dãy số $x_n$ thỏa mãn: $x_0=0; x_1=45; x_{n+2}=3x_{n+1}+x_n$.
Tìm số dư của $x_{2008}$ khi chia cho 2012 |
Ta chú ý rằng $2012=4.503$ và $503$ là số nguyên tố. Khi đó ta có hai nhận xét sau
- Số dư của $x_{2008}$ khi chia cho $503$ bằng số dư của $y_{2008}$ khi chia cho $503$ với $(y_n)$ là dãy số thỏa mãn: $y_0=0,y_1=45$ và $y_{n+2}=3y_{n+1}+504y_n$, và từ đây ta được số dư khi chia $x_{2008}$ cho $503$ là $2$.
- Dễ dàng chứng minh được rằng $(x_n)$ khi chia cho $4$ có số dư lập thành một dãy số có chu kỳ là $6$ nên $x_{2008}\equiv x_{4} (\mod 6)$. Hay $x_{2008}$ khi chia cho $4$ có số dư là $1$.
Từ các nhận xét trên ta được $x_{2008}$ khi chia cho $2012$ có số dư là $505$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]