Ðề tài: Arithmetic Geometry
Xem bài viết đơn
Old 21-03-2008, 01:46 PM   #1
galmotcoh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 18
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Arithmetic Geometry

Thấy Forum này chủ yếu là ANT mình không phải dân trong nghề ngại tham gia quá. Nhưng thôi cứ đặt tạm 1 viên gạch với tiêu đề topic như trên, dù sao cũng họ hàng gần với nhau.

Nói chung ai có hứng thì vào trao đổi, không cần nhất thiết phải chuyên gia, bởi chuyên gia đi chăng nữa, thì cũng chỉ hiểu biết giới hạn trong 1 hướng trong cái lãnh vực rộng lớn này. Cho nên mỗi người biết 1 phần, có thể trao đổi bổ sung cho nhau.

Xin phép được tự mở đầu trước, mình vốn quan tâm tới rational points của 1 số lớp các đa tạp đại số xạ ảnh over some finite fields. Hy vọng có người có cùng hướng, cùng sở thích tiện đường trao đổi chung. Tất nhiên topic tên là Arithmetic Geometry thì còn nhiều hướng sôi động khác, cho nên topic open for everyone, nếu ai quan tâm.

Trước hết muốn tìm rational points over some fields nào đó, thì phải hiểu thế nào là điểm hữu tỷ. Thực tế thì tôi cũng chả hiểu tại sao lại đặt tên cho nó là điểm hữu tỷ nữa, chắc nó có lấy ý nghĩa lịch sử từ bài toán Fermat, hay từ các phương trình Diophantine over Q chăng?

Ta hãy thử xuất phát từ 1 bài tập trong Hartshorne chẳng hạn. Xét 1 scheme X over a field k. Let K be any field. Hãy chứng minh rằng to give a morphism $Spec K \rightarrow X $ tương đương với to give a point x với residue field $k(x) $ và 1 inclusion $k(x) \rightarrow K $. Tất nhiên lời giải bài này tầm thường. Tuy nhiên nó lại nói cho ta 1 khái niệm sơ khai về điểm (points).

Hartshorne nói ngay ở bài tập kế tiếp, 1 điểm x được gọi là rational over k nếu residue field của nó k(x) đẳng cấu với k. Như vậy ta có thể hiểu nôm na 1 rational point như là 1 điểm nhận giá trị trong some fields.

Hình học Grothendieck sẽ mang lại cho ta cách formulate toán học tốt nhất, bằng việc đưa vào hàm tử điểm. (Points-functor). Trước hình học Grothendieck bao giờ cũng fix 1 base scheme, which we denote by S. Hàm tử điểm là 1 hàm tử từ phạm trù các lược đồ over S vào phạm trù tập hợp cho bởi như sau

$\underline{Schm}/S \rightarrow \underline{Sets}, T \rightarrow X(T). $

trong đó $X(T) = Hom_S(T,X) $.

(Tất nhiên nếu thích bạn có thể làm nó thành bó (sheaf), nhưng quan điểm đó chúng ta chưa cần lúc này, nói chung thì hầu như mọi thứ nếu thích bạn có thể làm nó thành bó).

Nếu $S = Spec k $ và $T = Spec K $ thì X(T) làm thành 1 tập hợp mà ta gọi là tập các điểm hữu tỷ. Như vậy cho điểm K-điểm hữu tỷ trên X tức là cho 1 cấu xạ $Spec K \rightarrow X $.

Cách nhìn về điểm như thế này là rất có lợi, thực thế, ta hãy phân tích điểm lợi của nó qua 2 ví dụ sau.

Ví dụ 1:

Chắc chúng ta đều hiểu hình học Grothendieck khác các loại hình học khác ở vấn đề về điểm. Có rất nhiều loại điểm. Ngay từ thời Zariski đã có khái niệm điểm tổng quát (generic point). 1 điểm tổng quát trong 1 không gian topo được hiểu như là 1 điểm mà bao đóng của nó là toàn bộ không gian. Tuy nhiên cách nhìn thế này rất bất tiện cho Arithmetic Geometry. Bởi chúng ta phải dựa vào topo để deal với điểm tổng quát. Weil có ý tưởng độc đáo hơn, và đây là điểm tôi muốn phân tích ở ví dụ 1 này.

1 miền phổ dụng được hiểu như là 1 algebraically closed field $\Omega $ (characteristic = p $\geq $ 0) với vô hạn các biến. Tức với mọi trường $K $ với trường con nguyên tố là $k \subset K $ tồn tại 1 phép nhúng $K \subset \Omega $ sao cho luôn tồn tại $x_1,...,x_n \in K $ để $K = k(x_1,...,x_n) $.

Ý tưởng của Weil là fix 1 miền phổ dụng $\Omega $ như vậy, rồi định nghĩa điểm tổng quát của 1 đa tạp đại số/lược đồ over a field K (phải tới Grothendieck mới có khái niệm lược đồ) như là lớp các điểm nhận giá trị trong $\Omega $.

Tới đây bạn có thể thắc mắc, đa tạp đại số bao gồm toàn các điểm đóng thì Weil lấy đâu ra điểm tổng quát mà nhúng với chả fix. Nhưng bạn có thể yên tâm, với Weil, đa tạp đại số được hiểu theo nghĩa abstract variety như trong cuốn Hartshorne.

Do đó to deal with generic point in Arithmetic Geometry, cách làm của Weil tiện lợi hơn, ta có thể làm việc trực tiếp bằng Field theory thay vì dùng topo như cách của Zariski.

1 ví dụ thứ 2 tôi muốn nói tới, đó là khái niệm điểm hình học (geometric point). Khái niệm nhìn nhận điểm như 1 hàm tử mang lại cho ta cách nhìn điểm như là 1 cấu xạ từ phổ của 1 trường vào lược đồ, dù rằng phổ của trường là tầm thường.

Điểm hình học là điểm $\overline{x} : Spec \Omega \rightarrow X $, với $\Omega \supset K $ là separable closed field, và X is defined over K. Tính tiện lợi của điểm hình học ta sẽ bàn sau, nó không thể thiếu khi chúng ta muốn dùng Etale Topology/Cohomology, mà những công cụ này thì không thể không dùng khi muốn tìm rational points. Nhưng những vấn đề kỹ thuật này nên để ở 1 post khác.

Bài sau tôi muốn nói về Grothendieck (Pre)-Topology trên các Sites. Tức là để có 1 topo thì ta không cần 1 không gian nào cả, chỉ cần phạm trù. Tôi sẽ nhấn mạnh vào 2 Sites chính là Site Etale và Site $Et/k $. Trường hợp thứ 2 sẽ leads us quay trở lại Galois cohomology quen thuộc.

Tới đây ta có thể thắc mắc, thế này thì làm algebraic Geometry chứ Arithmetic Geometry gì. Tất nhiên, ta có thể nhắm mắt, không cần biết hình học đại số, chỉ làm với Galois cohomology, class field theory, ANT, tập trung chính vào vành giá trị (valued rings) và đường cong đại số... Nhưng lên higher dimension chúng ta sẽ bó tay nếu thiếu hình học đại số.

Còn những dự định tiếp theo thì chưa thể nghĩ ra là sẽ viết gì, tới đâu hay tới đó. Cũng có thể là tôi sẽ đi tiếp 1 một lèo thẳng sang motivic cohomology, cũng có thể sẽ rẽ ngang sang Zeta functions, mà cũng có thể topic sẽ ngỏm củ tỏi vì ở đây chỉ toàn dân ANT.

Tạm thời viên gạch đặt thế cái đã, hy vọng các bác chuyên gia có ghé ngang qua đọc thì đặt lại vài dòng tán gẫu vui vẻ cho topic em nó sống động với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
galmotcoh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 13.76 k/14.87 k (7.42%)]