Ðề tài: Arithmetic Geometry
Xem bài viết đơn
Old 28-10-2012, 07:18 AM   #7
elfking
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Bài gởi: 29
Thanks: 7
Thanked 7 Times in 6 Posts
Phù, đọc cái post đầu tiên mãi mới hiểu ra một tí trong đấy.

Cứ lấy một trường hợp đơn giản là scheme ở đây là một đường cong elliptic định nghĩa trên tập hữu tỷ, với vành hàm $\mathcal{O}=\mathbb{Q}[X,Y]/(f)$. Cũng giống như khi định nghĩa trường số đại số, trong đường cong này sẽ có những điểm thuần tuý là hữu tỷ và có những điểm "đại số."

Vấn đề là định nghĩa trong Hartshorne có thật sự phản ánh được một điểm ở đây là hữu tỷ không. Vậy ta lấy một điểm $x$ trên đường cong. Nói chung nếu như điểm đấy là hữu tỉ thì khi mở rộng trường hữu tỷ bằng cách thêm vào toạ độ của điểm này thì trường vẫn phải là $\mathbb{Q}$ (và nếu điểm không hữu tỷ thì trường này sẽ lớn hơn).

Nhưng phải diễn tả việc mở rộng trường này thế nào? Giống như với số đại số, ta thêm biến $X,Y$ vào và mod ideal $p$ tương ứng với điểm $x$ (là những đa thức với $x$ là nghiệm) ra: tức là được $\mathbb{Q}(X,Y)/(p)$. Vấn đề là ở đây có lẽ là người ta muốn định nghĩa hoàn toàn dựa vào đường cong thôi (ideal $p$ ở trên là trong toàn bộ $\mathbb{Q}[X,Y]$, có lẽ dùng $p$ chỉ của riêng vành hàm của đường cong thì dễ hơn (bởi vì có sẵn?) hoặc đẹp hơn), cho nên ta có thể viết lại bằng cách cục bộ hoá vành hàm tại điểm $x$, và như thế sẽ được ($p$ ở đây là trong $\mathcal{O}$)
$\mathcal{O}_p/(p)\mathcal{O}_p=:\mathbb{Q}(x)$ ,
tức là trường residue của $x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
elfking is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.27 k/9.26 k (10.69%)]