Trích:
Nguyên văn bởi phantom  Một số nguyên dương $a $ là chính phương modulo $p $ với mỗi $p $ là số nguyên tố liệu có nhất thiết phải là số chính phương hay không? |
Lời giải sau cần sử dụng định lý Dirichlet
.
Ta sẽ chứng minh khi $a $ không là 1 số chính phương thì tồn tại 1 số nguyên tố $p $ mà $(\frac{a}{p})=-1 $ và chỉ cần chứng minh khi $a $ là tích của một số số nguyên tố khác nhau: $a=p_1p_2...p_l $, $p_1<p_2<...<p_l $.
*) Trường hợp $p_1=2 $.
Nếu $l=1 $ đơn giản.
Nếu $l>1 $, tồn tại số nguyên dương $x $ mà:
$x\equiv 1 mod 8 $
$x\equiv 1 mod p_2 $
...
$x\equiv 1 mod p_{l-1} $
$x\equiv -1 mod p_l $
Theo định lý Dirichlet tồn tại vô số số nguyên tố $p $ có dạng $x+2ya, y\in N $.
Ta có: $(\frac{a}{p})=\prod_{i=1}^{l}{(\frac{p_i}{p})} $.
Ta lại có: $(\frac{p_i}{p}).(\frac{p}{p_i})=(-1)^{\frac{(p-1)(p_i-1)}{4}}=1 $, $l-1\geq i\geq 2 $.
$\Rightarrow (\frac{p_i}{p})=(\frac{p}{p_i})=(\frac{x}{p_i})=1, l-1\geq i\geq 2 $
($\frac{p_1}{p})=1 $
$(\frac{p_l}{p})=-1 $
$\Rightarrow (\frac{a}{p})=-1 $
*) Trường hợp $p_1>2 $
Tồn tại số nguyên dương $x $ mà:
$x\equiv 1 mod 4 $
$x\equiv 1 mod p_1 $
$x\equiv 1 mod p_2 $
...
$x\equiv 1 mod p_{l-1} $
$x\equiv -1 mod p_l $
Chọn số nguyên tố $p $ có dạng $x+4ay $, tương tự ta chứng minh được $(\frac{a}{p})=-1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]