Trích:
Nguyên văn bởi company  Cho$ x,y,z,t \geq 0 $
CMR
$ 3(x^2+y^2+z^2+t^2) +4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^2 $ |
Ta chứng minh bất đẳng thức tương đương (Tukervici):
$x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+t^2x^2+t^2y^2+z^2t^2 $
Không mất tính tổng quát, giả sử $t=\min\left \{ x;y;z;t \right \} $
Nếu $t=0 $ thì ta có:
$x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 $
$\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2\ge 0 $
Nếu $t>0 $ ,chuẩn hoá $t=1 $. Ta cần chứng minh:
$x^4+y^4+z^4+2xyz+1\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2 $
Mặt khác, ta có bất đẳng thức với 3 biến dương:
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge 2(xy+yz+zx) $
(Xin không chứng minh)
Ta chuyển về bất đẳng thức tương đương là:
$x^4+y^4+z^4-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2\ge 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $
$\Leftrightarrow (x-y)^2((x+y)^2-2)+(y-z)^2((y+z)^2-2)+(z-x)^2((z+x)^2-2)\ge 0 $
Như vậy bất đẳng thức dc chứng minh. Có 2 trường hợp của đẳng thức :$x=y=z=t $ hoặc $x=y=z;t=0 $.
Ngoài ra, từ cách giải trên, có thể làm mạnh thêm bất đẳng thức đã cho.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]