[zinxinh]

Từ $n^{2}=\frac{m^{4}+1}{2}=(\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac {m^{2}-1}{2})(\frac{m^{2}+1}{2}-i\frac{m^{2}-1}{2})$
z không chia hết cho 2 nên m là số nguyên dương lẻ
Nhưng $\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac{m^{2}-1}{2}$ và $\frac{m^{2}+1}{2}-i\frac{m^{2}-1}{2}$ nguyên tố với nhau nên hai số này là bình phương số nguyên gaus
Vì vậy $\frac{m^{2}+1}{2}+i\frac{m^{2}-1}{2}=(a+ib)^{2}=a^{2}-b^{2}+2iab$ .Từ giá trị của m nên a,b là các số nguyên không âm
$ab=\frac{m^{2}-1}{4} $và $ a^{2}-b^{2}=\frac{m^{2}+1}{2}$ và a>b
Vì vậy $(a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2ab+2b^{2}=1+2b^{2}$
Đặt a-b=c nên $c^{2}=2b^{2}+1=>m^{2}=a^{2}+2ab-b^{2}=(a+b)^{2}-2b^{2}=(c+2b)^{2}-2b^{2}=c^{2}+4bc+4b^{2}-2b^{2}=4bc+4b^{2}+1$
Do m lẻ nên m=2e+1 do đó $ab=e(e+1),a^{2}-b^{2}=2e^{2}+2e+1$ Do đó $a^{2}$ là nghiệm của phương trình $t^{2}-(2e^{2}+2e+1)t-(e^{2}+e)^{2}=0=>\Delta=8(e^{2}+e)^{2}+4(e^{2}+e)+ 1$ là số chính phương
Tìm số tự nhiên n sao cho $4bc+4b^{2}+1$ là số chính phương,trong đó $b=\frac{(3+2\sqrt{2})^{n}-(3-2\sqrt{2})^{n}} {2\sqrt{2}}$ và $c=\frac{(3+2\sqrt{2})^{n}+(3-2\sqrt{2})^{n}} {2}$ nghĩa là bài toán phát biểu lại.Tìm n là số tự nhiên sao cho
$\frac{(1+\sqrt{2})^{4n+1}+(1-\sqrt{2})^{4n+1}}{2}$ là số chính phương
Đến đây hoàn toàn có thể đánh chặn được
Dấu bằng xảy ra khi b=0 => m=1 => z=1 => (x,y)=(2,4) và (2,-4)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]