Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Định lý cơ bản của đại số : các cách chứng minh

zinxinh · 02-02-2009, 04:55 PM

Để chứng minh về định lý cơ bản của đại số.Ta sử dụng các bổ đề sau
Bổ đề 5.13
Cho f(x) là đa thức trên R(là trường số thực)
1) Nếu f(x)=$x^{2}-a $.Với a là số thực dương thì f(x) có nghiệm thực trên R.Do vậy mà mọi số thực không âm đều có căn bậc hai
2)Nếu deg(f) là bậc lẻ thì f có nghiệm trên R.Và chỉ có mở rộng bậc lẻ của R mới chính là R.
Cả hai kết quả trên đều dễ dàng suy được từ tính liên tục của hàm số đa thức trên trường R.Hầu hết tất cả học sinh chúng ta đều hiểu được.Và nó đã phải dùng đến khái niệm giải tích thực(R).Nếu công nhận vấn đề này ta sẽ chỉ còn thuần túy là đại số
Bổ đề 5.14
Mọi số phức đều có căn bậc hai là số phức (Trường C).Do vậy không có trường N mở rộng nào của C với [N:C]=2

Để chứng minh vấn đề này ta dùng biểu diễn số phức theo tọa độ cức (argument số phức).Nếu bạn nào học sinh cấp ba học theo chương trình phân ban đều biết đến điều này.
Cho a$\in C $ thì $a=re^{i\theta} $.Trong đó r>0,theo bổ đề 5.13.1.Thì $\sqrt{r}\in C $.Mà $e^{i\frac{\theta}{2}=cos(\frac{\theta}{2})+i sin( \frac{\theta}{2})\in C $(Theo công thức Ơle)(à mà quên cái này cũng phải chứng minh trong giải tích phức)
->$b=\sqrt{r}e^{\frac{\theta}{2}}\in C $(tính chất đóng phép nhân trong một trường).Chúng ta có $a=b^{2} $.
Nếu N là trường mở rộng của C với [N:C]=2 thì có $a\in C $.Mà N=C($\sqrt{a} $).Thế nhưng theo phần đầu của bổ đề ta đang chứng minh thì C($\sqrt{a} $)=C.Do vậy không thể có mở rộng bậc hai của C được

Định lý 5.15 (Định lý cơ bản của đại số)
L là mở rộng hữu hạn của C.Từ R là trường thực có đặc số 0.Nên L cũng là mở rộng tách được của R,và L là mở rộng hữu hạn của R.

Let N be the normal closure of L/R .Chúng ta chỉ ra N=C.và sẽ kết thúc chứng minh
Cho G=Gal(N/R).Thì |G|=[N:R]=[N:C][C:R]=2[N:C] là một số chẵn.Và vì vậy có H là 2_sylow của G. E là trường con bất biến của H
Từ [G:H]=[E:R] là số lẻ .Nên [E:R] =1 theo như bổ đề 5.13.2,do đó G=H Nghĩa là bản thân G cũng chính là 2_sylow.Theo định lý sylow thì nó phải có nhóm con P mà chỉ số [Gal(N/C)

]=2.T là trường con bất biến của P -> [P:C]=2.Theo bổ đề 5.14 thì không có chuyện như vậy,và N=C

02-02-2009, 04:55 PM	#6
zinxinh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts	Để chứng minh về định lý cơ bản của đại số.Ta sử dụng các bổ đề sau Bổ đề 5.13 Cho f(x) là đa thức trên R(là trường số thực) 1) Nếu f(x)=$x^{2}-a $.Với a là số thực dương thì f(x) có nghiệm thực trên R.Do vậy mà mọi số thực không âm đều có căn bậc hai 2)Nếu deg(f) là bậc lẻ thì f có nghiệm trên R.Và chỉ có mở rộng bậc lẻ của R mới chính là R. Cả hai kết quả trên đều dễ dàng suy được từ tính liên tục của hàm số đa thức trên trường R.Hầu hết tất cả học sinh chúng ta đều hiểu được.Và nó đã phải dùng đến khái niệm giải tích thực(R).Nếu công nhận vấn đề này ta sẽ chỉ còn thuần túy là đại số Bổ đề 5.14 Mọi số phức đều có căn bậc hai là số phức (Trường C).Do vậy không có trường N mở rộng nào của C với [N:C]=2 Để chứng minh vấn đề này ta dùng biểu diễn số phức theo tọa độ cức (argument số phức).Nếu bạn nào học sinh cấp ba học theo chương trình phân ban đều biết đến điều này. Cho a$\in C $ thì $a=re^{i\theta} $.Trong đó r>0,theo bổ đề 5.13.1.Thì $\sqrt{r}\in C $.Mà $e^{i\frac{\theta}{2}=cos(\frac{\theta}{2})+i sin( \frac{\theta}{2})\in C $(Theo công thức Ơle)(à mà quên cái này cũng phải chứng minh trong giải tích phức) ->$b=\sqrt{r}e^{\frac{\theta}{2}}\in C $(tính chất đóng phép nhân trong một trường).Chúng ta có $a=b^{2} $. Nếu N là trường mở rộng của C với [N:C]=2 thì có $a\in C $.Mà N=C($\sqrt{a} $).Thế nhưng theo phần đầu của bổ đề ta đang chứng minh thì C($\sqrt{a} $)=C.Do vậy không thể có mở rộng bậc hai của C được Định lý 5.15 (Định lý cơ bản của đại số) L là mở rộng hữu hạn của C.Từ R là trường thực có đặc số 0.Nên L cũng là mở rộng tách được của R,và L là mở rộng hữu hạn của R. Let N be the normal closure of L/R .Chúng ta chỉ ra N=C.và sẽ kết thúc chứng minh Cho G=Gal(N/R).Thì \|G\|=[N:R]=[N:C][C:R]=2[N:C] là một số chẵn.Và vì vậy có H là 2_sylow của G. E là trường con bất biến của H Từ [G:H]=[E:R] là số lẻ .Nên [E:R] =1 theo như bổ đề 5.13.2,do đó G=H Nghĩa là bản thân G cũng chính là 2_sylow.Theo định lý sylow thì nó phải có nhóm con P mà chỉ số [Gal(N/C)]=2.T là trường con bất biến của P -> [P:C]=2.Theo bổ đề 5.14 thì không có chuyện như vậy,và N=C thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 02-02-2009 lúc 05:46 PM