I.20)Hệ thức Stewart Định lí:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Và một điểm M bất kì. Ta luôn có hệ thức
$\bar{MA}^2.\bar{BC}+\bar{MB}^2.\bar{CA}+\bar{MC}^2 .\bar{AB}+\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB}=0 $
Chứng minh Qua M hạ $MH \perp AC $.
Ta có:
$\bar{MA}^2.\bar{BC}+\bar{MB}^2.\bar{CA}+\bar{MC}^2 .\bar{AB}+\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB} $
$=(MH^2+HA^2). \bar{BC}+(MH^2+HB^2).\bar{CA}+(MH^2+HC^2).\bar{AB} +\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB} $
$=\bar{MH}^2.(\bar{BC}+\bar{CA}+\bar{AB})+(\bar{HA} ^2.\bar{BC}+\bar{HB}^2.\bar{CA}+\bar{HC}^2.\bar{AB }+\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB}) $
$=0+\bar{HA}^2.\bar{BC}+\bar{HB}^2.\bar{CA}+\bar{HC }^2.\bar{AB}+\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB} $
(Đưa về trường hợp hệ thức Stewart cho 4 điểm thẳng hàng (khi M nằm trên đường thẳng chứa A,B,C))
$\bar{HA}^2.\bar{BC}+\bar{HB}^2.\bar{CA}+\bar{HC}^2 .\bar{AB}+\bar{BC}.\bar{CA}.\bar{AB} $
$=\bar{HA}^2.( \bar{HC}-\bar{HB})+\bar{HB}^2.(\bar{HA}-\bar{HC})+\bar{HC}^2.(\bar{HB}-\bar{HA})+(\bar{HC}-\bar{HB}).(\bar{HA}-\bar{HC}).(\bar{HB}-\bar{HA})=0 $
Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]