Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Khám phá ứng dụng của cực và đối cực-ma29

**ma 29** · 02-01-2009, 08:07 AM

B/ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CỰC VÀ ĐỐI CỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN

I/ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa : Trên mặt phẳng cho đường tròn (O,R) và một điểm S khác O.
Phép nghịch đảo cực O phương tích $R^2 $ biến S thành S'.
Gọi d là một đường thẳng qua S' và vuông góc với OS. Khi ấy ta gọi:
d là đường đối cực của S đối với đường tròn (O)
S là cực của d đối với đường tròn (O).

*Ghi chú: Có thể nhiều bạn sẽ thấy định nghĩa này hình như khác với các định nghĩa phổ biến ở Việt Nam (chẳng hạn xem [2] hoặc [4]) tuy nhiên tác giả thấy rằng định nghĩa trên ngắn gọn hơn mà vẫn đảm bảo tính chính xác của vấn đề nên đã chọn nó và cũng rất vui vì thấy trong [5] cũng dùng nó.

II/MỘT SỐ ĐỊNH LÍ:

Trong mục này ,các định lí sẽ chưa đưa ra chứng minh ngay vì lí do riêng.
Mong bạn đọc thông cảm.Khi nào có điều kiện tôi sẽ giới thiệu đầy đủ chứng minh của chúng.

Định lí 1: Tập hợp các điểm P liên hợp với điểm S (cho trước) đối với đường tròn (O) là đường đối cực của S. (Ta nói hai điểm S và P liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) nếu đường tròn đường kính SP trực giao với (O).)

Từ đây ta thu được :

Hệ quả 1: Với hai điểm S,P trên mặt phẳng mà P nằm trên đường đối cực của S đối với (O) và SP cắt (O) ở M,N thì bốn điểm S,P,M,N lập thành 1 hàng điểm điều hòa.
Hệ quả 2: (đảo của hệ quả 1).Với hai điểm S,P trên mặt phẳng mà SP cắt (O) ở M,N thỏa mãn bốn điểm S,P,M,N lập thành 1 hàng điểm điều hòa thì P nằm trên đường đối cực của S và S nằm trên đường đối cực của P.

Định lí 2: OS vuông góc với đường đối cực của S. (hiển nhiên!)

Định lí 3:Với hai điểm S, Q.Đường đối cực của S đi qua Q khi và chỉ khi đường đối cực của Q sẽ đi qua S.(Định lí La Hire)

Định lí 4 : Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song.

Định lí 5: Bốn điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) lập thành 1 hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành 1 chùm điều hòa.

III/MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG ĐỐI CỰC THÔNG DỤNG

Đây sẽ là một phần rất quan trọng để bạn có thể tư duy nhanh theo lối cực đối cực!

Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đường tròn (O)

Ta có 2 cách dựng đơn giản sau đây :

_Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp điểm ) .Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là AB
Gợi ý chứng minh: Dựa vào định nghĩa.

_Cách 2:Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB,SCD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở
F.Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là EF.
Gợi ý chứng minh: Giả sử FE cắt AB,CD lần lượt ở M,N.Hãy dùng định lí Menelaus hoặc kiến thức về tỉ số kép để chứng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 rồi dùng hệ quả 2 là ra.

Trường hợp 2 :Khi cực S nằm trong đường tròn(O)

_Cách 1:Qua S dựng đường vuông góc với OS, đường này cắt (O) ở A ,B. Tiếp tuyến của
(O) tại A,B cắt nhau ở P .Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là đường thẳng qua P
vuông góc với OS.

_Cách 2:Qua S dựng hai dây cung AB và CD . Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở
F.Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là EF.

Trường hợp 3; S nằm trên (O)

Rất đơn giản : tiếp tuyến của (O) tại S chính là đường đối cực của S đối với (O)!!

IV/MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH CỰC THÔNG DỤNG

Điều này dành cho bạn đọc tự tìm hiểu dựa vào mục trên!

02-01-2009, 08:07 AM	#2
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	B/ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CỰC VÀ ĐỐI CỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN I/ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa : Trên mặt phẳng cho đường tròn (O,R) và một điểm S khác O. Phép nghịch đảo cực O phương tích $R^2 $ biến S thành S'. Gọi d là một đường thẳng qua S' và vuông góc với OS. Khi ấy ta gọi: d là đường đối cực của S đối với đường tròn (O) S là cực của d đối với đường tròn (O). Ghi chú: Có thể nhiều bạn sẽ thấy định nghĩa này hình như khác với các định nghĩa phổ biến ở Việt Nam (chẳng hạn xem [2] hoặc [4]) tuy nhiên tác giả thấy rằng định nghĩa trên ngắn gọn hơn mà vẫn đảm bảo tính chính xác của vấn đề nên đã chọn nó và cũng rất vui vì thấy trong [5] cũng dùng nó. II/MỘT SỐ ĐỊNH LÍ:* Trong mục này ,các định lí sẽ chưa đưa ra chứng minh ngay vì lí do riêng. Mong bạn đọc thông cảm.Khi nào có điều kiện tôi sẽ giới thiệu đầy đủ chứng minh của chúng. Định lí 1: Tập hợp các điểm P liên hợp với điểm S (cho trước) đối với đường tròn (O) là đường đối cực của S. (Ta nói hai điểm S và P liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) nếu đường tròn đường kính SP trực giao với (O).) Từ đây ta thu được : Hệ quả 1: Với hai điểm S,P trên mặt phẳng mà P nằm trên đường đối cực của S đối với (O) và SP cắt (O) ở M,N thì bốn điểm S,P,M,N lập thành 1 hàng điểm điều hòa. Hệ quả 2: (đảo của hệ quả 1).Với hai điểm S,P trên mặt phẳng mà SP cắt (O) ở M,N thỏa mãn bốn điểm S,P,M,N lập thành 1 hàng điểm điều hòa thì P nằm trên đường đối cực của S và S nằm trên đường đối cực của P. Định lí 2: OS vuông góc với đường đối cực của S. (hiển nhiên!) Định lí 3:Với hai điểm S, Q.Đường đối cực của S đi qua Q khi và chỉ khi đường đối cực của Q sẽ đi qua S.(Định lí La Hire) Định lí 4 : Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song. Định lí 5: Bốn điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) lập thành 1 hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành 1 chùm điều hòa. III/MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG ĐỐI CỰC THÔNG DỤNG Đây sẽ là một phần rất quan trọng để bạn có thể tư duy nhanh theo lối cực đối cực! Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đường tròn (O) Ta có 2 cách dựng đơn giản sau đây : _Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp điểm ) .Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là AB Gợi ý chứng minh: Dựa vào định nghĩa. _Cách 2:Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB,SCD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở F.Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là EF. Gợi ý chứng minh: Giả sử FE cắt AB,CD lần lượt ở M,N.Hãy dùng định lí Menelaus hoặc kiến thức về tỉ số kép để chứng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 rồi dùng hệ quả 2 là ra. Trường hợp 2 :Khi cực S nằm trong đường tròn(O) _Cách 1:Qua S dựng đường vuông góc với OS, đường này cắt (O) ở A ,B. Tiếp tuyến của (O) tại A,B cắt nhau ở P .Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là đường thẳng qua P vuông góc với OS. _Cách 2:Qua S dựng hai dây cung AB và CD . Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở F.Khi đó đường đối cực của S đối với (O) là EF. Trường hợp 3; S nằm trên (O) Rất đơn giản : tiếp tuyến của (O) tại S chính là đường đối cực của S đối với (O)!! IV/MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH CỰC THÔNG DỤNG Điều này dành cho bạn đọc tự tìm hiểu dựa vào mục trên! __________________ Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.