Đề thi chọn học sinh giỏi khối 10 trường THPT chuyên Nguyễn Du

[Gin Mellkior]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - TỈNH DAK LAK

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm bài: $180'$ (không kể thời gian phát đề)

Bài 1:
a) Giải phương trình $x^{3}+2x-7\sqrt[3]{5x-4}+4=0$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5 \\ x^{2}+y^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=9 \end{matrix}\right.$

Bài 2:
a) Cho tam giác $ABC$, nêu cách dựng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2}+2MB^{2}=3MC^{2}$.
b) Cho tứ giác $ABCD$. $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $BC$ cắt $AD$ tại $F$. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác $EBC$, $EAD$, $FCD$ thẳng hàng.

Bài 3:
a) Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng $2013$ sao cho số thứ nhất chia $5$ dư $2$, số thứ hai chia $7$ dư $4$ và tổng bình phương của chúng nhận giá trị nhỏ nhất.
b) Tính tổng nghịch đảo của tất cả các ước số nguyên dương của $10^{20}$.

Bài 4:
a) Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}>a^{2013}+b^{2013}+c^{2 013}$. Chứng minh rằng $a^{100}+b^{100}+c^{100}<3$.
b) Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \left | 3a+2b+5c \right |\leq 289 \\ \left | 5a-7b+2c \right |\leq 578 \\ \left | 7a+3b-8c \right |\leq 578 \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $\left | c \right |\leq 68$.
==========

Mọi người chém thử nào

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaibinh]

[QUOTE=Gin Mellkior;181342]TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - TỈNH DAK LAK

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm bài: $180'$ (không kể thời gian phát đề)

Bài 1:
a) Giải phương trình $x^{3}+2x-7\sqrt[3]{5x-4}+4=0$.
/QUOTE]

Giải.
Đặt $y=\sqrt[3]{5x-4}
\rightarrow
\left\{\begin{matrix}x^{3}+2x-7y+4=0
& \\ y^{3}-5x+4=0
\end{matrix}\right.
\rightarrow \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}+7 \right )=0
\rightarrow x=y\rightarrow x=\sqrt[3]{5x-4}\leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x-4 \right )=0$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi
[B

Bài 3:[/B]
a) Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng $2013$ sao cho số thứ nhất chia $5$ dư $2$, số thứ hai chia $7$ dư $4$ và tổng bình phương của chúng nhận giá trị nhỏ nhất.

tổng của hai số rồi bình phương hay tổng hai bình phương?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LSG]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Bài 1:
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5 \\ x^{2}+y^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=9 \end{matrix}\right.$

Hint: Đk: $x,y\ne 0$
$\left\{\begin{matrix} x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5 \\ x^{2}+y^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=9 \end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(x+\dfrac{1}{x} \right )+\left(y+\dfrac{1}{y} \right )=5 \\ \left(x+\dfrac{1}{x} \right )^2+\left(y+\dfrac{1}{y} \right )^2=13\end{matrix} \right.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ntuan5]

4a/ Sử dụng cô si: $a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}+a^{2011}+b^{2011}+c^{2 011} \ge 2(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}$.
Một cách quy nạp ta có: $a^0+b^0+c^0 \ge a+b+c \ge ...\ge a^{100}+b^{100}+c^{100}$

Chủ top làm được chứ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tir]

4b:
Từ giả thiết, ta có:
$$\begin{cases} 64.289 \ge 64.|3a+2b+5c| \\ 5.578 \ge 5.|5a-7b+2c| \\ 31.578 \ge 31.|8c-7a-3b| \end{cases}$$
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên lại, ta được:
$$64.289 +5.578+31.578 \ge 64|3a+2b+5c|+5|5a-7b+2c|+31|8c-7a-3b| $$
$$\ge |64.3a+64.2b+64.5c+5.5a-5.7b+5.2c+31.8c-31.7a-31.3b|$$
hay $68.578 \ge 578|c| \Leftrightarrow |c| \le 68$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toan1215.thpt]

Bài 2a).Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho:BA=3BI.Khi đó ta có:M thuộc đường thẳng đi qua O và vuông góc với CI,cố định.Gợi ý: Dùng tích vô hướng nha bạn(<.....>).
------------------------------

Nguyên văn bởi mathandyou

tổng của hai số rồi bình phương hay tổng hai bình phương?

Tổng hai bình phương chứ bạn,nếu bình phương của tổng hai số thì không đổi mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gin Mellkior]

Mình chém một câu nhé

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Bài 3:
a) Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng $2013$ sao cho số thứ nhất chia $5$ dư $2$, số thứ hai chia $7$ dư $4$ và tổng bình phương của chúng nhận giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:
Gọi hai số cần tìm là $a$ và $b$.
Vì $a$ chia $5$ dư $2$ nên đặt $a=5m+2$ và $b$ chia $7$ dư $4$ nên đặt $b=7n+4$ ($m,n\in \mathbb{N}$).
Theo giả thuyết ta có:
$a+b=2013 \ \ \left ( * \right )\\
\Leftrightarrow 5m+2+7n+4=2013\\
\Leftrightarrow 5m+7n=2007$
Mặt khác vì $2007$ chia $5$ dư $2$ và chia $7$ dư $5$ nên $m$ chia $7$ dư $1$ và $n$ chia $5$ dư $1$ hay $m=7h+1$, $n=5k+1$ ($h,k\in \mathbb{N}$).
Thay vào $\left ( * \right )$ ta được:
$35k+5+35h+7=2007\\
\Leftrightarrow k+h = 57$
Ta lại có:
$a^{2}+b^{2}\\
=\left ( 35k+7 \right )^{2}+\left ( 35h+11 \right )^{2}\\
=1225\left ( 57^{2}=2hk \right )+70\left ( 57.7+4h \right )+170\\
=1225.57^{2}+70.57.7+170+70h\left ( 4-35k \right )\\
=1225.57^{2}+70.57.7+170+70h\left ( 35h-1991 \right )$
Để $a^{2}+b^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $f\left ( h \right )=70h\left ( 35h-1991 \right )$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Khảo sát $f\left ( h \right )$ với $h$ nguyên trên đoạn $\left [ 0;57 \right ]$ thì $f\left ( h \right )$ đạt cực tiểu khi $h=28$, khi đó thì $k=29$ và hai số cần tìm là $1022$ và $991$.

@ntuan5: Mình không thi bạn à

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

đề này cũng không khó.chém luôn câu 3b:
tổng các ước $10^{20}$ là:$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{ 20}})(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...\frac{1}{5^{2 0}})$ đến đây quy đồng lên rồi tính tống dễ dàng

không có gì

------------------------------
Câu 3a còn có cách làm khác:gọi $x$ là số thứ nhất.khi đó ta có hệ đồng dư:
$\left\{\begin{matrix}
x\equiv 2(mod5) & & \\
2013-x\equiv 4(mod7) & &
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x\equiv 2(mod5) & & \\
x\equiv 0(mod7) & &
\end{matrix}\right.
\Rightarrow x=7+35k (k\epsilon \mathbb{N})$
khi đó số còn lại có dạng $2006-35k$. Từ đó ta dễ tính được min của$(7+35k)^2+(2006-35k)^2$

cẩn thận:

k là số tự nhiên

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]