Vi phân của Hermitian inner product

[datsuphu]

Chào mọi người,
mình có một biểu thức đọc được từ tạp chí, mà mình ko phải là dân chuyên toán nên mình không hiểu lắm, mọng các thầy, cô, bạn trên forum giải đáp giúp:
\[ u, t \in \mathbb{C}^k, cho f_k:\mathbb{C}^k \rightarrow \mathbb{R}\\
f_k\left(t\right) = 1 - \langle u, t\rangle - \langle t, u\rangle + \langle u, t\rangle \langle t, u\rangle + \langle t, t\rangle
\text{, diferential at } t \text{ denoted by: }
df_{kt}\left(h\right) = -\langle u, h\rangle - \langle h, u\rangle + \langle u, h\rangle\langle t, u\rangle +\langle u, t\rangle \langle h, u\rangle + \langle h, t\rangle + \langle t, h\rangle\\
\text{in there: } \langle u, v\rangle = v^*u \text{, that is hermitian inner product}\]

ý mình là tài sao lại ra được cái biểu thức vi phân của hàm f như vậy?
thanks!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi datsuphu

Chào mọi người,
mình có một biểu thức đọc được từ tạp chí, mà mình ko phải là dân chuyên toán nên mình không hiểu lắm, mọng các thầy, cô, bạn trên forum giải đáp giúp:
\[ f_k\left(t\right) = 1 - \langle u, t\rangle - \langle t, u\rangle + \langle u, t\rangle \langle t, u\rangle + \langle t, t\rangle,\\ df_{kt}\left(h\right) = -\langle u, h\rangle - \langle h, u\rangle + \langle u, h\rangle\langle t, u\rangle +\langle u, t\rangle \langle h, u\rangle + \langle h, t\rangle + \langle t, h\rangle.\]

Lưu ý 1: đạo hàm theo hướng $h$
$$df_{kt}(h)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{f(t+\epsilon h)-f(t)}{\epsilon},$$
trong đó $\epsilon \to 0$ được hiểu là sự hội tụ trong $\mathbb{R}$.

Lưu ý 2:

• 
  $\langle t+\epsilon h, t+\epsilon h\rangle = \langle t, t\rangle+\epsilon\left( \langle t, h\rangle+\langle h, t\rangle\right)+\epsilon^2 \langle h, h\rangle.$
  
• 
  $\langle t+\epsilon h, u\rangle
  \langle u, t+\epsilon h\rangle =\langle t, u\rangle\langle u, t\rangle+\epsilon \langle t, u\rangle\langle u, h\rangle+ \epsilon\langle h, u\rangle\langle u, t\rangle+ \epsilon^2\langle h, u\rangle\langle u, h\rangle.$

Do đó
$\frac{f(t+\epsilon h)-f(t)}{\epsilon}= -\langle u, h\rangle - \langle h, u\rangle + \langle u, h\rangle\langle t, u\rangle +\langle u, t\rangle \langle h, u\rangle + \langle h, t\rangle + \langle t, h\rangle+\epsilon \langle h, h\rangle+\epsilon\langle h, u\rangle\langle u, h\rangle.$

Suy ra ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]