Đề thi chọn đội tuyển PTNK năm học 2012-2013

[hqdhftw]

Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK 2012-2013

Ngày 1:
Câu 1:
Giải hệ:
$$ \begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$

Câu 2:
Cho dãy $(u_n)$ giảm và có giới hạn bằng $0$. Xét 2 dãy:
$$ v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n-nu_{n+1}, $$
$$ z_n=u_1+u_2+\cdots+u_n. $$
Chứng minh nếu $(v_n)$ bị chặn thì $(z_n)$ hội tụ.

Câu 3:
Cho tập $X = \{1;2;\ldots;4n \}$. Hai tập con $A$ và $B$ của $X$ được gọi là không giống nhau nếu $|A \delta B| \geq 2n+1$. Trong đó $A \delta B=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Cho $\{ A_1;A_2;\ldots;A_m\}$ là tập con của $X$ gồm $m$ phần tử đôi một không giống nhau.
a/Chứng minh $m \leq 2n$.
b/Chứng minh $m \leq \frac{4(n+1)}{3}$

Câu 4::
Cho $\triangle ABC, M,N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle BAM = \angle CAN= \alpha$ ($M$ nằm giữa $B,N$). Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Kẻ $BH \perp AM, CK \perp AN$ lần lượt tại $H,K$.
a/Chứng minh tâm đường tròn $(IHK)$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.
b/Tính $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ sao cho $(IKH)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]