Đề thi tháng lớp 10 Toán lần 5

[VinhPhucNK]

Nguyên văn bởi lilsalyn

Bài 2: cho $x, y $ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+x}{xy-1} $ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $z $ sao cho $x+y+z=xyz $
Ta có: $\frac{x^{3}+x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{x^{3}+x}{xy-1}+x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{3}+x+x^{2 }y-x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{2}(x+y)}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy-1}\in\mathbb{Z} $,
$\Rightarrow\exists z\in\mathbb{Z} :z=\frac{x+y}{xy-1}\Leftrightarrow x+y+z=xyz $

Cho mình hỏi tại sao bạn biết cộng x vào mà không phải là ax+b hay ax+by+c,...?
Và cái đoạn $\frac{x^2(x+y)}{xy-1} \in Z \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy-1} \in Z $ không ổn lắm.
VD: $9.\frac{1}{3} \in Z \Rightarrow \frac{1}{3} \in Z $???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi VinhPhucNK

Cho mình hỏi tại sao bạn biết cộng x vào mà không phải là ax+b hay ax+by+c,...?
Và cái đoạn $\frac{x^2(x+y)}{xy-1} \in Z \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy-1} \in Z $ không ổn lắm.
VD: $9.\frac{1}{3} \in Z \Rightarrow \frac{1}{3} \in Z $???

Do mọi ước của x đều là ước của xy nên từ $(xy-1;xy)=1 \Rightarrow (x;xy-1)=1 \Rightarrow (x^2;xy-1)=1 $. Bạn lilsalyn quên giải thích chỗ này thôi.
Bạn có thể làm như bạn vjpd3pz41iuai sẽ nhanh hơn. Thật ra câu hỏi tại sao biết cộng x vào rất hay, đáng để suy nghĩ. Hướng đi của mình như sau: (đây là ý kiến chủ quan của mình thôi)

Trước hết có 1 số nhận xét:

* Ta cần biến đổi A về $A'=\frac{x+y}{xy-1} $. Khi đó $A' \in Z \Leftrightarrow x+y+z=xyz $ như bạn lylsalin đã làm.
* Trong biểu thức $A=\frac{x^3+x}{xy-1} $ thì x xuất hiện nhiều hơn. Do đó ta thử cộng A với biểu thức dạng $ax+b $.
Ta có $A+ax+b=...=\frac{x^3+x^2.ay+x(1+by-a)-b}{xy-1} $
Muốn đưa về A' thì tử số của A phải có nhân tử x+y, tức là -y là 1 nghiệm của $f(x)=x^3+x^2.ay+x(1+by-a)-b $
Dùng Horner ta được $-y[-y(-y+ay)+1+by-a]=b \Leftrightarrow y^3(1-a)+by^2+y(1-a)+b=0;\forall y \in \mathbb{N*} $ (*)
Bài toán đưa về tìm tham số để đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định. Dễ thấy $a=1; b=0 $ thì (*) đúng.
Vậy ta cộng A với x.


Như vậy ta chứng minh được nếu cộng A với 1 hàm bậc nhất dạng $ax+b $ thì hàm đó chỉ có thể là $g(x)=x $. Còn hàm bậc 2 $ax^2+bx+c $ hay hàm $g(x;y)=ax+by+c $ như bạn VinhPhucNK nói mình chưa nghiên cứu tới. Nhưng có lẽ 2 cách là ổn rồi
Áp dụng cách phân tích trên ta cũng có thể "chế" ra đề mới, khi đó không chỉ là cộng x mà có thể là các biểu thức phức tạp hơn

Mình vừa tìm ra 1 bài phải cộng tới $76x+59 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]