[Vòng 2] Ngày thứ hai- Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013

[bboy114crew]

Câu 1: Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix}
&x_1=5;x_2=\frac{17}{2} \\
& x_{n+1}=\frac{1}{4}x_nx_{n-1}^2-2x_n-4
\end{matrix}\right.$
$n \ge 2$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $[x_n] + 3$ là lập phương của một số tự nhiên .

Câu 2: Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x^2(y+3)=4(2-y) \\
& y^2(z+3)=4(2-z) \\
& z^2(x+3)=4(2-x)
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho $ABC$ cân tại $A$ và $ABC$ là tam giác nhọn . $D$ là mọt điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $\angle{ADB} < 90^0 $ . Từ điểm $C$ kẻ các tiếp tuyến $CM,CN$ tới đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ ($M,N $ thuộc đường tròn ngoaoij tiếp tam giác $ABD$). Gọi $P,Q$ lầm lựot là trung điểm $CM,CN$ . Giả sử $PQ$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $E$. Lấy điểm $F$ trên đoạn thẳng $AE$ sao cho $\angle{EFC}= \angle{DAC}$ . Chứng minh rằng : $\angle{BEF}= \angle{BAC}$.

Câu 4: Có 19 người xếp thành hàng vào xem một buổi biểu diễn ảo thuật .Phòng biểu diễn có đúng 19 chiếc ghế được xếp thành hàng ngang và ảo thuật gia đánh sô chúng từ 1 đến 19 theo thứ tự từ trái qua phải . Sau đó anh ta phát cho mỗi ngừoi đến xem 1 tấm vé có ghi một số từ 1 đến 19 . Các vị khách được mời vào phòng biểu diễn theo thứ tự xếp hàng . Mỗi ngừoi đi vào sẽ đi thẳng đến chiếc ghế có số ghi trên tấm vé của mình. Nếu chiếc ghế này còn trống họ sẽ ngồi vào đó , nếu không họ sẽ đi tiếp và ngồi vào chiếc ghế đầu tiên vê bên phải chưa có người ngồi . Khi một vị khách đi đến chiếc ghế cuối cùng mà vẫn chưa có ghế để ngồi , họ sẽ bỏ về . Hỏi ảo thuật gia có bao nhiêu cách phát vé để cả 19 vị khách sẽ ở lại xem buổi biểu diễn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]