Đề Thi HSG Hà Tĩnh lớp 11 năm 2012

[vietnamoi]

Câu 1:
a) Giải phương trình:
$\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin 3x-\cos 3x}=\dfrac{\sin ^3x-\cos ^3x}{\sin x+\cos x} $

b) Dãy số $(x_n)$ với $n$ thuộc $N$ được xác định như sau:
$\begin{cases}x_o=a \\ x_n=\dfrac{x_{n-1}}{2x_{n-1}+1} \end{cases} $
Tìm số hạng thứ $2012$ của dãy theo $a$.

Câu 2:
a) Tam giác $ABC$ có các cạnh thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện.
$\begin{cases} b^2=a^2+ac\\c^2=b^2+ab\end{cases} $
Chứng minh số đo của tam giác lập thành cấp số nhân.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác cân $ABC$ $(AB=AC)$ cắt các đường cao $AK$ của tam giác $ABC$ tại $H$ (không trùng $K$), biết đường thẳng $BH$ vuông góc với $AC$. Tính $\cos A$.

Câu 3:
Khai triển biểu thức
$ S=(1+2x)^{10}(x^2+x+1)^2 $ ta được hệ số của $ x^6 $ là mấy?

Câu 4: HÌnh chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=AB=AC=a$, diện tích tam giác $SBC$ bằng $ S_0$ . Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $SB$, $N$ là trung điểm cạnh $BC$, biết $AN$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ S_{AMN} $ theo $a$ và $S_0$.

Câu 5: Chứng minh các góc của tam giác luôn thỏa mãn:

$ \cos A\cos B\cos C\le \dfrac{1}{8} \cos (B-C) \cos (C-A) \cos (A-B) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]