Đề thi chọn hsg tỉnh Phú Thọ ngày 2

[hoangqnvip]

Câu 7:
a) Dễ dàng CM được $I$ là trực tâm tam giác $I_aI_bI_c$
$O$ chính là tâm đường tròn $Euler$ tam giác $I_aI_bI_c$
Suy ra $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_aI_bI_c$
Đường tròn tâm $O$ cắt $II_a$ tại $D$
$D$ chính là trung điểm của $II_a$
$DO$ chính là đường trung bình của tam giác $II_aP$ nên $PI_a=2DO=2R$
b) Ta nêu bổ đề sau mà không chứng minh:
Cho tam giác $ABC$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$. Khi đó $H,I,O$ thẳng hàng
Quay lại bài toán:
Dễ thấy $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $XYZ$
Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là giao điểm của $OA$ với $YZ$,...
$H_1$ là trực tâm của $A_1B_1C_1$
Áp dụng bổ đề trên cho tam giác $XYZ$ ta có $K$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $A_1B_1C_1$
Xét phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\frac{1}{2}$
Ta có phép vị tự trên biến đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$ thành đường thẳng $Euler$ của tam giác $A_1B_1C_1$
Mặt khác hai đường thẳng trên có chung điểm $O$ suy ra chúng trùng nhau
Suy ra $K$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]