Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh năm 2014-2015

[Juliel]

Lời giải bài hình ngày 2 :


a) Trước tiên ta sẽ chứng minh $AF,AM$ đẳng giác trong góc $BAC$.
Theo định lí sin :
$$\dfrac{sin\angle AFB}{AB}=\dfrac{sin\angle ABF}{AF}=\dfrac{sin\angle BAM}{AF},\dfrac{sin\angle AFC}{AC}=\dfrac{sin\angle ACF}{AF}=\dfrac{sin\angle CAM}{AF}$$
Suy ra :
$$\dfrac{sin\angle AFB}{sin\angle AFC}=\dfrac{sin\angle BAM}{sin\angle CAM}.\dfrac{AB}{AC}=1\Rightarrow \angle AFB=\angle AFC$$
Từ đó theo tính chất góc ngoài tam giác :
$$360^0-2\angle AFB=\angle BFC=\angle FDE+\angle DEF=2\angle BAM+2\angle CAM=2\angle BAC$$
$$\Rightarrow \angle FAB+\angle FBA=\angle FAB+\angle FAC\Rightarrow \angle FBA=\angle FAC=\angle BAD$$
Vậy $AF,AM$ đẳng giác trong $\angle BAC$.
Từ đó dễ thấy hai tam giác $AFB,ANM$ đồng dạng, suy ra :
$$\dfrac{AN}{AF}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow \Delta AFN\sim \Delta ABM\Rightarrow \angle AFN=\angle ABC=\dfrac{\angle AOC}{2}=\angle AON$$
Vậy tứ giác $AFON$ nội tiếp, suy ra $\angle AFO=90^0$.
Từ đó thấy :
$$\angle OFE=\angle AFC-\angle AFO=\angle AFB-90^0=\angle ANM-90^0=\angle ANM-\angle ANE=\angle ENM\;\;\;(1)$$
Cũng dễ thấy $\angle OEF=\angle OEM\;\;\;(2)$.
Từ $(1)(2)$ có hai tam giác $FEO,NEM$ đồng dạng.

b) Theo câu a thì :
$$\angle OFE=\angle OFC=\angle ENM=\angle ANM-90^0=\angle B+\angle C-90^0=\angle OBC$$
Ta được $O,F,B,C$ đồng viên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]