Đề thi chọn HSG quốc gia tỉnh Đăk Lăk

[thelovestar]

Ngày thứ 1:
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm sô $y=3(1+x^2)\sqrt{1+x^2}-\frac{13}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}$ $(C)$ , với $x\in [0;1]$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ với hệ số góc lớn nhất.
Câu 2: (5 điểm)
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}+4\sqrt[4]{xy^3}+3\sqrt[8]{y^3z^5}=1 \\ \frac{4x}{x+1}+\frac{2y}{y+1}+\frac{3z}{z+1}=1 \\ 8^9x^2y^4z^3=1 \end{matrix}\right.$
Câu 3: (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ . Gọi $D$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ . $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $BC$ , $AC$ , $AB$ . Tìm vị trí điểm $D$ sao cho:
$S=\frac{AB}{DK}+\frac{AC}{DI}+\frac{BC}{DH}$ đạt GTNN.
Câu 4: (5 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$P(x+1)=P(x)+3x^2+3x+1$

Mai em chiến tiếp rồi post ngày thứ 2 sau!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thelovestar]

Sao chả ai thảo luận thế này!!! (
Ngày thứ 2:
Câu 1: (5 điểm)
Cho dãy $\left ( x_n \right )$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x_0=2013 & \\ x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} & \end{matrix}\right.$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{x_n^2}{n}$
Câu 2: (5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để phương trình $(x+1)^n+(1-x)^n+(x+3)^n=0$ có một nghiệm nguyên.
Câu 3: (5 điểm)
Chứng minh rằng trong 1008 số nguyên dương không vượt quá 2014, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho một số khác trong đó.
Câu 4: (5 điểm)
Cho tư diện $ABCD$ trên các cạnh $AB$, $AC$, và $AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ và $P$ sao cho $AB=k.AM$, $AC=k.AN$ và $AD=(k+1).AP$ với $k\geq 1$ tùy ý. Chứng minh rằng mặt phẳng $(MNP)$ luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vickyjustice]

Câu 1: dùng cesaro là ra ngay mà
Câu 2: xét x chẵn vô lí, khi x lẻ thì x=2y+1. Pt thành $(1+y)^n $+$(-y)^n $=$(y+2)^n $. Thấy y và y+2 cùng tính chẵn lẻ và khác với y+1 nên nếu n lớn thì vô lí. Xét n=1 là xong
Câu 3: số bất kì trong tập hợp đó có dạng $2^a $.b với b lẻ. Khi đó b chỉ có 1007 giá trị. Theo Dirichlet thì có 2 số có dạng$2^m $.b. Khi đó số này chia hết cho số kia
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thelovestar]

Nguyên văn bởi vickyjustice

Câu 1: dùng cesaro là ra ngay mà
Câu 2: xét x chẵn vô lí, khi x lẻ thì x=2y+1. Pt thành $(1+y)^n $+$(-y)^n $=$(y+2)^n $. Thấy y và y+2 cùng tính chẵn lẻ và khác với y+1 nên nếu n lớn thì vô lí. Xét n=1 là xong
Câu 3: số bất kì trong tập hợp đó có dạng $2^a $.b với b lẻ. Khi đó b chỉ có 1007 giá trị. Theo Dirichlet thì có 2 số có dạng$2^m $.b. Khi đó số này chia hết cho số kia

Câu 2 , câu 3 cậu giải thích kĩ hơn được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nvthe_cht.]

Nguyên văn bởi thelovestar

Sao chả ai thảo luận thế này!!! (
Ngày thứ 2:
Câu 1: (5 điểm)
Cho dãy $\left ( x_n \right )$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x_0=2013 & \\ x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} & \end{matrix}\right.$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{x_n^2}{n}$
.

Dễ có $x_n$ tăng và tiến đến vô cùng.
Khi, theo định lý Stolz ta có:
$\lim \frac{X_n^2}{n}=\lim (x_{n+1}^2-x_n^2)= \lim (2+\frac{1}{x_n^2} )=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[babysama]

Câu đa thức
$P(x+1)-(x+1)^{3}=P(x)-x^{3} $
Đặt $G(x)=P(x)-x^{3} $ thì $G(x+1)=G(x) $ nên $G(x)=c $(c:const)
Từ đó có $P(x)=c+x^{3} $
Thử lại tm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamvanhuy]

Nguyên văn bởi thelovestar

Ngày thứ 1:
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm sô $y=3(1+x^2)\sqrt{1+x^2}-\frac{13}{3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}$ $(C)$ , với $x\in [0;1]$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ với hệ số góc lớn nhất.

Phương trình tiếp tuyến của $ (C) $ với hệ số lớn nhất $ \Rightarrow y' $ lớn nhất
$ y' = 9x \sqrt{1+x^2}+13x \sqrt{1-x^2} $ với $ x \in [0;1] $
Ta đi CM $ y' \leq 16 $
Sử dụng BĐT $ \text{Cauchy-Schwarz} $, ta có:
$ y' = 9x \sqrt{1+x^2}+13x \sqrt{1-x^2}=\dfrac{3}{2} .3x.2 \sqrt{1+x^2}+\dfrac{13}{2} .x.2. \sqrt{1-x^2} \leq \dfrac{3}{4} \left[ 9x^2+4(1+x^2) \right] +\dfrac{13}{4} \left[ x^2+4(1-x^2) \right]=16 $
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x =\dfrac{2}{\sqrt{5}}
$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]