Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2014-2015 - Lời giải và bình luận

[nguyentatthu]

Nguyên văn bởi namdung

Tiếp tục một số bài toán chọn lọc


22. (Gia Lai) Xét tất cả các tập hợp $ X = {a_1, a_2, ..., a_n} $ các số nguyên dương có tính chất: khi ta bỏ đi một phần tử bất kỳ trong X thì tập còn lại có thể phân hoạch thành 2 tập con khác rỗng sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập con đó bằng nhau. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n.

Ta có phần tử ${{a}_{i}}$ lẻ (vì nếu các ${{a}_{i}}$ đều chẵn ta xét tập $\left\{ \frac{{{a}_{i}}}{{{2}^{k}}} \right\}$).
Suy ra $S\left( X \right)-{{a}_{i}}\vdots 2\Rightarrow S(X)$ lẻ.
Mà với mọi $j\ne i$ thì $S(X)-{{a}_{j}}\vdots 2\Rightarrow {{a}_{j}}$ lẻ.
Suy ra $\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( S(X)-{{a}_{k}} \right)}=\left( n-1 \right)S(X)\vdots 2\Rightarrow n$ lẻ, dẫn đến $n\ge 5$.
+) $n=5$ ta có $X=\left\{ {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}} \right\}$.
Bỏ ${{a}_{1}}$ thì ta có ${{a}_{2}}+{{a}_{5}}={{a}_{3}}+{{a}_{4}}$
Bỏ ${{a}_{2}}$ ta có ${{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{3}}+{{a}_{4}}\Rightarro w {{a}_{1}}={{a}_{2}}$ (vô lí).
+) $n=7$ ta xét tập $X=\left\{ 1,3,5,7,9,11,13 \right\}$. Ta thấy $X$ thỏa mãn bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]