Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

[ma 29]

Mình sẽ làm nốt phần về Menelaus

I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích


Định lí:Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB.Khi đó ta có:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{ \bar{BM}.\bar{CN}.\bar{AP}-\bar{CM}.\bar{AN}.\bar{BP} }{\bar{AB} .\bar{BC}.\bar{CA}} $

Chứng minh :(thamtuhoctro post)


Gọi $e_1 ,e_2 ,e_3 $ là vector chỉ phương của $BC, CA, AB. $
Ta có:
$\begin{array}{l}S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MAB} \right] + S\left[ {MCA} \right] \\ \Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {PMA} \right] + S\left[ {PBM} \right] + S\left[ {NMC} \right] + S\left[ {NAM} \right] \\\Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MNP} \right] + S\left[ {BMP} \right] + S\left[ {CNM} \right] + S\left[ {APN} \right] \\ \end{array} $
mặt khác :
$\frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}}{{\overline {BC} .\overline {BA} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} $
tương tự:

$\frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} $

$\frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {AP} .\overline {AN} }}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} $
Ta suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = 1 - \frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[{ABC}\right]}} = 1 - \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} - \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} - \frac{{\overline {AP} .\overline {AN}}}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {CN} .\overline {AP} - \overline {CM} .\overline {AN} .\overline {BP} }}{{\overline {AB} .\overline {BC} .\overline {CA} }} \\ \end{array} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

I.3)Định lí Menelaus cho tứ giác:


Định lí:Cho tứ giác ABCD và một đường thẳng d cắt AB,BC,CD,DA lần lượt ở M,N,P,Q. Khi đó ta có:
$\frac{\bar{MA}}{\bar{MB}} .\frac{\bar{NB}}{\bar{NC}}.\frac{\bar{PC}}{\bar{PD }} .\frac{\bar{QD}}{\bar{QA}}=1 $

Chứng minh:
Ta sẽ làm giống cách chứng minh ở tam giác
Trên d lấy hai điểm I,J sao cho AI//BJ//CD
Theo Thales ta có:
$\frac{\bar{MA}}{\bar{MB}}=\frac{\bar{IA}}{\bar{JB} } $
$\frac{\bar{NB}}{\bar{NC}}=\frac{\bar{JB}}{\bar{PC} } $
$\frac{\bar{QD}}{\bar{QA}}=\frac{\bar{PD}}{\bar{IA} } $
Từ đó dễ có điều cần chứng minh.

*Chú ý
1)Khi áp dụng cho tứ giác ,định lí Menelaus chỉ phát biểu dạng thuận bởi dạng đảo nói chung không đúng!
2) Các bạn thử suy nghĩ xem với dạng thuận như thế này thì có thể mở rộng cho đa giác được không? -Một vấn đề khá thú vị
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abctom123]

Nguyên văn bởi ma 29

Mình sẽ làm nốt phần về Menelaus

I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích


Định lí:Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB.Khi đó ta có:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{ \bar{BM}.\bar{CN}.\bar{AP}-\bar{CM}.\bar{AN}.\bar{BP} }{\bar{AB} .\bar{BC}.\bar{CA}} $

Chứng minh :(thamtuhoctro post)


Gọi $e_1 ,e_2 ,e_3 $ là vector chỉ phương của $BC, CA, AB. $
Ta có:
$\begin{array}{l}S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MAB} \right] + S\left[ {MCA} \right] \\ \Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {PMA} \right] + S\left[ {PBM} \right] + S\left[ {NMC} \right] + S\left[ {NAM} \right] \\\Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MNP} \right] + S\left[ {BMP} \right] + S\left[ {CNM} \right] + S\left[ {APN} \right] \\ \end{array} $
mặt khác :
$\frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}}{{\overline {BC} .\overline {BA} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} $
tương tự:

$\frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} $

$\frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {AP} .\overline {AN} }}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} $
Ta suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = 1 - \frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[{ABC}\right]}} = 1 - \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} - \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} - \frac{{\overline {AP} .\overline {AN}}}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {CN} .\overline {AP} - \overline {CM} .\overline {AN} .\overline {BP} }}{{\overline {AB} .\overline {BC} .\overline {CA} }} \\ \end{array} $

Cái này kiểm tra lại đi chứ không đúng
Dấu trừ trong biểu thức thì phải thay bằng dấu cộng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]