một bài đồng quy rất hay

[conan236]

Chứng minh rằng nếu 1 lục giác lồi có 3 đường chéo mà mỗi đường chéo nối với các đỉnh đối diện của lục giác và chia diện tích lục giác thành 2 phần bằng nhau thì 3 đường chéo đó đồng quy .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi LongTime

Bạn nên vẽ hình vì khi CM những bài hình thì phải có hình mới được tính điểm !!! CÁM ƠN BẠN NHÉ !

Thế mình viết lại đè nè :
Giả sử tồn tại 1 lục giác lồi ABCDEF có 3 đường chéo là AD, BE, CF mà mỗi trong chúng đều chia lục giác thành 2 phần có diện tích bằn nhau. CMR AD, BE, CF đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi LongTime

Bạn nên vẽ hình vì khi CM những bài hình thì phải có hình mới được tính điểm !!! CÁM ƠN BẠN NHÉ !

Mình nghĩ là vẽ hình thì tùy trường hợp thôi, đây không phải là đi thi!Tất nhiên vẽ được thì là tốt
Mà ở đây conan là người ra đề chứ đâu phải người giải mà cần vẽ hình hả bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi conan236

Thế mình viết lại đè nè :
Giả sử tồn tại 1 lục giác lồi ABCDEF có 3 đường chéo là AD, BE, CF mà mỗi trong chúng đều chia lục giác thành 2 phần có diện tích bằn nhau. CMR AD, BE, CF đồng quy.

Xin lỗi các bạn vì đã làm sai. Bây giờ em xin post bài giải còn bất ngờ hơn lúc nãy nữa.
Gọi $O, I, K $ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đoạn thẳng $AD $ và $BE, BE $ và $CF, CF $ và $AD $. Ta cần chứng minh $O, I, K $ trùng nhau. Thật vậy giả sử phản chứng $O, I, K $ không trùng nhau. Khi đó không mất tính tổng quát ta giả sử $O $ nằm trong miền tứ giác $ABCF $. Từ đây dễ c/m được rằng $I, K $ theo thứ tự nằm trong miền tứ giác $AFDE $ và $BCDE $.
Từ giả thiết ta có :
$S_{OAB}=S_{ODE} \Rightarrow OA.OB=OD.OE > IE.KD (1) $
Tương tự : $KC.KD=KA.KF > OA.IF (2) $
$IE.IF=IB.IC > OB.KC (3) $
Nhân $(1), (2), (3) $ vế theo vế thì được :
$OA.OB.KC.KD.IE.IF > IE.KD.OA.IF.OB.KC $ , vô lí.
Vậy ta có đpcm . :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi conan236

Xin lỗi các bạn vì đã làm sai. Bây giờ em xin post bài giải còn bất ngờ hơn lúc nãy nữa.
Gọi $O, I, K $ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đoạn thẳng $AD $ và $BE, BE $ và $CF, CF $ và $AD $. Ta cần chứng minh $O, I, K $ trùng nhau. Thật vậy giả sử phản chứng $O, I, K $ không trùng nhau. Khi đó không mất tính tổng quát ta giả sử $O $ nằm trong miền tứ giác $ABCF $. Từ đây dễ c/m được rằng $I, K $ theo thứ tự nằm trong miền tứ giác $AFDE $ và $BCDE $.
Từ giả thiết ta có :
$S_{OAB}=S_{ODE} \Rightarrow OA.OB=OD.OE > IE.KD (1) $
Tương tự : $KC.KD=KA.KF > OA.IF (2) $
$IE.IF=IB.IC > OB.KC (3) $
Nhân $(1), (2), (3) $ vế theo vế thì được :
$OA.OB.KC.KD.IE.IF > IE.KD.OA.IF.OB.KC $ , vô lí.
Vậy ta có đpcm . :hornytoro:

conan giới thiệu lời giải sớm quá umb sau khoảng 2 ngày)
Chưa kịp nghĩ
Lần sau cứ ngâm lâu lâu một chút nhé!Để mọi người tham gia giải cho vui!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]