Bài tổ hợp dễ một nửa

[ll931110]

Nguyên văn bởi duycvp

Có tồn tại hay không vô số điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm bât kỳ thẳng hàng và khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là số hữu tỷ

Câu trả lời là có
Thật vậy, với 2 điểm $A(a) $ và $B(b) $ thuộc đường tròn lượng giác thì $AB = 2Rsin\frac{\hat {AOB}}{2} = 2(sin{\frac{a}{2}}cos{\frac{b}{2}} - sin{\frac{b}{2}}cos{\frac{a}{2}}) $

Vậy các đoạn thẳng có độ dài hữu tỉ, nếu với mỗi điểm A(a) được chọn thỏa mãn $sin{\frac{a}{2}} $ và $cos{\frac{a}{2}} $ là số hữu tỉ
Và điều này đương nhiên thực hiện được vì có vô số cặp số nguyên $(p,q) $ thỏa mãn $p^2 + q^2 $ là số chính phương, và ta chọn $sin{\frac{a}{2}} = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}, cos{\frac{a}{2}} = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]